Luis Alvarez - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Результат Фрая и Рибета делал возможной совершенно новую стратегию атаки Великой теоремы, попытки покорить которую зашли в тупик и пребывали в таком состоянии десятилетиями. И вдруг открылся новый, абсолютно инновационный фронт: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет и теорему Ферма.

Именно здесь на сцену выходит математик Эндрю Уайлс.

По невероятной случайности он был увлечен теоремой Ферма с десяти лет. Но когда Уайлс начал изучать математику, она завела его, казалось бы, очень далеко от детской увлеченности: он стал специализироваться на эллиптических кривых. Должно быть, он был очень удивлен, когда узнал о результате Фрая и Рибета в обычной беседе в 1986 году. Премия была перед ним!

Однажды я ходил по местной публичной библиотеке и нашел книгу по математике, в которой немного говорилось об истории этой задачи, и я, в возрасте десяти лет, смог понять ее. С тех пор я пытался решить ее сам [...]. Этой задачей была Последняя теорема Ферма.

Эндрю Уайлс о своей первой встрече с теоремой Ферма

Не сомневаясь в своем успехе, Уайлс закрылся у себя в комнате и, не посвящая никого в свои проекты, решил доказать гипотезу Таниямы — Симуры, которая доказала бы автоматически и Последнюю теорему Ферма. Между этим моментом и циклом лекций в Кембридже прошло семь лет, во время которых Уайлс не публиковал почти ничего и занимался, казалось, исключительно преподавательской деятельностью.

Такая ситуация несколько необычна, поскольку карьера исследователя, который не публикуется, подвергается серьезному риску. В академическом сообществе существует присказка: публиковаться или погибнуть. Успех измеряется числом цитат, взятых из публикуемых статей в престижных журналах.

Эварист Галуа (1811-1832) и Нильс Хенрик Абель (1802-1829) развили, независимо друг от друга, теорию групп для решения вопроса, имеет ли уравнение пятой степени обобщенное решение, как это было у всех уравнений меньшей степени. Теория француза Галуа была гораздо более развита, чем теория норвежца Абеля, поскольку он первым использовал термин "группа". Обоих математиков ждала трагическая судьба, они оба умерли молодыми. Абель скончался от болезни и лишений. Галуа же был не только гениальным математиком, но и ярым республиканцем: он прожил короткую жизнь, которая закончилась абсурдной дуэлью из-за женщины. В ней многие увидели политическую ловушку полиции Луи Филиппа Орлеанского. Ни один из этих ученых не был признан при жизни. Известно, что Галуа лихорадочно записывал свои идеи накануне дуэли, явно убежденный в том, что умрет на следующий день. Иногда он писал: "У меня нет времени". На следующий день, действительно, Галуа был смертельно ранен и покинут своим противником. Ученый прожил еще несколько дней. Когда он увидел, как плачет его брат, то сказал ему: "Не плачь, мне нужна вся моя смелость, чтобы умереть в 21 год".

Группа — это просто множество А с операцией Θ, которая имеет некоторые свойства: она закрытая (результат операции находится в А), ассоциативная, имеет нейтральный и обратный элементы. Например, множество (a, b, c) и операция, которая состоит в расположении всех трех элементов в различном порядке (abc), (acb), (bca) и так далее, образуют группу. Сегодня группы вездесущи в математике. Мало что было таким плодотворным, как теория групп. Но, кроме того, изучение теории групп ведет к исследованию других алгебраических структур, таких как кольца, поля и идеалы. Значительная часть современной алгебры — это изучение множества и некоторых операций с элементами этого множества.

Эварист Галуа.

Нильс Хенрик Абель.

Но Уайлс держался практически в полном молчании, периодически все-таки публикуясь по вопросам, очень отдаленным от его реального исследования. Ученый быстро продвигался в своей работе, и некоторые его результаты по теории групп были достойны того, чтобы принести ему известность; однако он боялся, что кто-нибудь узнает, чем он на самом деле занимается, и вынудил себя молчать. Вскоре коллеги начали думать, что карьера Уайлса закончена и его математический гений исчерпан. Ничего удивительного в их выводах не было, поскольку большинство математиков вносят свой вклад в науку еще в молодости.

Молчание Уайлса привело к тому, что ему пришлось проглотить обиду, когда, едва лишь через два года после начала его работы, другой исследователь по имени Иоичи Мияока объявил, что доказал Последнюю теорему Ферма. Мияока основывался на стратегии (наследнице стратегии Фальтингса), вроде бы отличной от стратегии Уайлса, однако в глубине аналогичной тому, что он пытался сделать. Таким образом была сформулирована гипотеза Мияоки, которая, так же как и гипотеза Таниямы — Симуры, была связана с Великой теоремой; если гипотеза Мияоки истинна, то истинна и теорема Ферма. К счастью для Уайлса, сам Фальтингс быстро нашел ошибку в доказательстве Мияоки, и, несмотря на все усилия по ее устранению, доказательство провалилось всего лишь через два месяца. Уайлс вздохнул с облегчением и продолжил работать.

История того, как Уайлс нашел доказательство, очень сложна: в нем более ста страниц. Стоит выделить некоторые аспекты этого доказательства. Уайлс так же, как и Куммер, воспользовался теорией групп.

Изначальный подход Уайлса основывался на теории Ивасавы, от которой он отказался, поскольку она не давала результатов, заменив ее так называемым методом Колывагина — Флаха. Интересно отметить, что теория Ивасавы возникла как обобщение работы Куммера. В математике есть связи, которые постоянны в истории.

Как мы уже говорили, математик, пытающийся доказать сложную теорему, пользуется различными стратегиями, пока в момент озарения не находит нужную — ту, что способна снести стену. Сам Уайлс сравнивал свою работу с входом в темную комнату, где он постепенно узнает о мебели и вещах, которые в ней существуют, пока, наконец, не находит выключатель и не заполняет комнату светом.

Дело в том, что доказательство, изложенное Уайлсом в знаменитой серии лекций, прочитанных 23 июня 1993 года в Кембридже, было основано на его второй стратегии, Колывагина — Флаха, поскольку он отбросил за бесполезностью изначальный метод. Однако это доказательство было опровергнуто, поскольку в нем содержалась роковая ошибка.

Французский математик Огюстен Лум Кошм доказал теорему Ферма о прямоугольных числах в 1812 году.