Luis Alvarez - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Аналитическая геометрия стала основой, с помощью которой были созданы другие революционные методы, в частности математический анализ. Ферма понял, что если можно использовать уравнение для полного описания кривой, то можно применить алгебраические действия для изучения свойств этой кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому пришлось преодолеть извилистый путь.

Еще в Бордо (где он установил связь с кружком последователей Виета и получал частные уроки математики от Жана Бограна), в молодости, Ферма работал над методом нахождения максимальных и минимальных значений, который, поскольку возник раньше, чем он изобрел аналитическую геометрию, не был основан на ней. Однако в течение примерно 15 лет математик возвращался к данной теме снова и снова, сочиняя небольшие трактаты, посвященные ей, и обсуждая ее в своей переписке. Эти записи наглядно показывают, как менялись мысли Ферма о его методе. В одном из писем Мерсенну он пообещал, что когда у него будет время, он напишет о нем большой трактат, чего так и не сделал. Речь идет о колоссальной потерянной возможности: если бы тулузский математик сдержал свое обещание, не исключено, что сегодня автором дифференциального исчисления мы считали бы Ферма.

Для ученого была характерна несколько хаотичная манера работы. Однажды Декарт с презрением сказал, что Ферма просто решает задачи (как реисты), а не систематизирует. Возможно, в чем-то он был прав. Гению из Тулузы было достаточно убедиться в том, что метод работает, чтобы увериться в его обобщенности, и он забывал про его доказательство. Исследование максимумов и минимумов не стало исключением.

В 1636 году в Париже начала распространяться рукопись Ферма под названием "Метод определения максимумов и минимумов и касательных к кривым линиям" (которую мы будем далее именовать Methodus, по ее латинскому названию). Methodus, написанная, вероятно, в 1629 году, состояла едва лишь из 600 слов. Она представляла собой пару инструкций, алгоритмов. Не было ни одного намека на то, как Ферма пришел к описанному результату, и ни одного доказательства. Как мы увидим, отсутствие ясности в Methodus вызовет у ученого немало проблем. Из-за своеобразной манеры изложения сочинение выглядело абсурдно. Практически сразу же, благодаря вмешательству Декарта, вокруг Methodus развязалась огромная полемика, и Ферма пришлось впервые и практически единственный раз в своей жизни дать детальное объяснение своего метода. Целых пять рукописей, включая письмо Брюлару, написал наш герой на эту тему. Самая важная из них — "Аналитическое исследование метода максимумов и минимумов" (далее "Аналитическое исследование"), в котором он объединяет два подхода, с одной стороны, исходя из работ Виета, а с другой — опираясь на труды Евклида и Паппа.

Действительно, Папп столкнулся с задачей, в которой ему потребовалось получить максимум. Такие задачи привычны для нас сегодня: например, найти геометрическую фигуру, обладающую наибольшим объемом с наименьшей площадью поверхности (сфера). Или, в качестве обратной задачи, определить, являются ли пчелиные соты оптимальной формой покрытия плоскости. Как видно, у данного типа задач много общего с задачами на оптимизацию. В любом случае, внимание Ферма привлекло то, что максимум, который искал Папп, был "единственным и исключительным". Пользуясь своими гуманитарными способностями, Ферма смог понять автора, что считал невозможным сам переводчик Паппа на латынь, Федерико Коммандино. Папп говорил о том, что экстремум является единственным. На основе этого, а также опираясь на работы Виета, Ферма придумал, как составить квадратное уравнение, отвечающее условиям задачи Паппа, у которого было бы только одно решение.

Вспомним, что у квадратного уравнения обычно два корня (мы говорим "обычно", поскольку во времена Ферма некоторые корни — от иррациональных до комплексных, не говоря уже об отрицательных — не допускались). Дело в том, что Виет изобрел метод выражения коэффициентов уравнения через два его корня, который он назвал синкризис.

Синкризис состоит в том, чтобы скомбинировать похожие уравнения с целью получить выражения, в которых корни связаны с их коэффициентами. Например, из уравнения bx - x 2= c, корнем которого является х, можно получить уравнение by - у 2= с, где у — другой корень. Виет приравнивал оба уравнения: bx - х 2= by - у 2, откуда

b(x - y) = x 2- y 2<-> b = (x 2- y 2)/(x - y) = x + y;

и после замены с = (х + у) х - х 2= х 2+ ху - х 2= ху. Таким образом, как b, так и с выражаются через х и у.

Проиллюстрируем метод примером: разделим отрезок АE точкой Е так, чтобы АЕ ∙ ЕВ было максимумом.

Пусть АВ = b.

1. Тогда если АЕ = а,ЕВ = b - а.

2. Следовательно, произведение, максимум которого нужно найти, равно ab - а 2.

3. Теперь заменим изначальную неизвестную а на а + е, то есть на другой корень. Следовательно, отрезок АЕ теперь равен а + е, а отрезок ЕВ равен b - а - е, в связи с чем произведение их обоих равно ab - а 2+ be - 2ае - е 2.

4. Приравниваем (2) и (3), так что ab - а 2+ be - 2ае - е 2≡ ab - а 2. Упрощаем: be - 2ae - e 2≡ 0 <-> be ≡ 2ae + e 2. Эта операция подобна синкризису: осуществляется приравнивание вместо обычного равенства.

5. Осуществляется деление на е до тех пор, пока в одном из членов не останется ни одного е: b ≡ 2а + е.

6. Устанавливается, что е равно нулю: b = 2а.

7. Следовательно, а = b/2

Очевидно, что речь идет о середине отрезка.

Ферма воспользовался данным методом для выполнения действий со своим квадратным уравнением в инновационной форме. Он утверждал, что существует один корень х, а другой корень он назвал x + h, где h, как он пояснял, может быть любым значением. Далее следовал решительный и странный шаг. Ферма "приравнял" уравнение со значением х к уравнению со значением х + h: ƒ(х) = ƒ(x + h). Он назвал эту операцию "приравнять", воспользовавшись термином, взятым у Диофанта. Однако на самом деле во всей теории уравнений Виета не существует формального математического обоснования для осуществления этой странной операции.

Далее, в довершение всего, Ферма занялся тем, чтобы исключить некоторые члены, содержащие h, с помощью деления на h:

ƒ(x)/h = ƒ(x + h)/h

Наконец, он постановил, что h равно нулю и, следовательно, оба корня — это один-единственный корень. Это способ зафиксировать один корень и сделать так, чтобы второй корень равнялся ему. Но на самом деле казалось, что Ферма в данном случае просто разделил на ноль без какого-либо теоретического обоснования.