Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых

У новых широкоэкранных телевизоров соотношение сторон, как правило, 16:9. Если высота такого экрана 350 мм, то какой будет ширина? Она должна быть больше высоты, поэтому умножаем 350 на 16/9 и получаем 622 мм.

Так математика помогает изображению в вашем телевизоре выглядеть правильно независимо от размера экрана. Жаль только, что она никак не влияет на качество телепередач.

Тень от палки

С помощью пропорций можно рассчитать высоту статуи (или дерева, или дома). Для этого нужна солнечная погода, палка и рулетка. Воткните палку вертикально в землю, а затем измерьте длину палки, длину тени от палки и длину тени от статуи.

Солнечный свет образует два подобных друг другу тре­угольника. Это означает, что они разного размера, но в точности одинаковой формы. Соотношение между высотой палки и длиной ее тени будет таким же, как отношение высоты статуи к длине ее тени.

Высота палки — 500 мм, а длина тени — 350 мм. Это образует пропорцию 500:350, которую можно сократить, как обычную дробь:

Итак, мы определили, что высота палки относится к длине ее тени как 10:7. Длина тени статуи равна 4 м, и теперь мы можем вычислить высоту статуи. Высота палки больше, чем длина ее тени, а значит, и высота статуи должна быть больше 4 м. Поэтому умножаем длину тени статуи на 10/7 и выясняем, что высота статуи составляет м.

Пропорции ингредиентов

Для того чтобы получился качественный бетон, важно знать, сколько брать цемента, песка и заполнителя (щебня). Типичная смесь имеет приблизительно такие пропорции:

Цемент : песок : заполнитель = 1 : 2 : 4

Положим, у вас есть 3 тонны песка, и вы хотите использовать их без остатка, тогда сколько понадобится цемента и заполнителя?

Согласно пропорции, на каждую тону цемента приходится 2 тонны песка и 4 тонны заполнителя. Числа в пропорции можно менять, умножая их на одно и то же значение. Нам нужно поменять 2 тонны песка на 3 тонны, поэтому умножаем все три числа на 3/2. Получается соотношение 3/2:3:6.

Это значит, что для приготовления бетонной смеси с 3 тоннами песка понадобится тонны цемента и 6 тонн заполнителя.

Если вам необходимо 10 тонн бетона, то сколько нужно добавить каждого ингредиента? Из 1 тонны цемента, 2 тонн песка и 4 тонн щебня мы, очевидно, получим 7 тонн бетона.

Чтобы получить 10 тонн бетона, умножим каждое из чисел на 10/7. То есть нам понадобится 10/7 тонн цемента, 20/7 тонн песка и 40/7 тонн заполнителя, иначе говоря, тонны цемента, тонны песка и тонны заполнителя.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

С помощью простых дробей удобно делить вещи вроде пицц и банок с краской. Однако когда имеешь дело с чем-то численным, например деньгами или замерами, гораздо разумнее использовать десятичные дроби. Кроме того, две совсем непохожие простые дроби, такие как 14/19 и 27/35, намного проще сравнивать, преобразовав в десятичные, в чем мы скоро убедимся.

Что творится по ту сторону запятой

Смешанное число 731 можно также записать в виде десятич­ной дроби 731,625. Очевидно, что число 731 одинаково для обоих случаев; мудреным может показаться равенство 5/8 = 0,625. Чуть позже мы узнаем, как преобразовать 5/8 в десятичную дробь, но сперва давайте посмотрим, что означают в такой дроби разные знаки.

7 считается за 7 сотен, 3 — за 3 десятка, а 1 — за 1 единицу. При движении вдоль линии цифр достоинство каждой следующей цифры в десять раз меньше, чем предыдущей. Переходим за запятую: 6 считается за 6 десятых, 2 — за 2 сотых и 5 — за 5 тысячных. А дальше в десятичных дробях идут десятитысячные, стотысячные и т. д., но это очень усложняет расчеты.

Если при написании десятичной дроби перед запятой целого числа нет, мы просто ставим вместо него ноль, чтобы было понятно, где должен быть десятичный разделитель.

Округление десятичных дробей

Иногда при переводе простых дробей в десятичные после запятой получается всего несколько знаков, а иногда тянется длинный ряд цифр, уходящий в миллионные и миллиардные доли. В таких случаях нужно выбрать приемлемую точность и округлить десятичную дробь. Например, дробь 1/6 в виде десятичной дроби будет выглядеть как 0,166666666… и далее бесконечное количество шестерок. Жизни не хватит такое сосчитать, поэтому ее нужно округлить до трех разрядов после запятой; выйдет нечто среднее между 0,166 и 0,167. Чтобы понять, какое из двух значений правильнее, посмотрим, какой была следующая, четвертая после запятой цифра — это, конечно же, шестерка. Если очередная цифра равна или больше пяти, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Поэтому выбираем 0,167. Если это кажется неочевидным, можно, как мы уже делали, представить числа на линейке.

Если при делении одного числа на другое не выходит точный результат, цифры после запятой будут рано или поздно повторяться. Такие дроби называются периодическими, а числа, их содержащие, рациональными.

Преобразование простых дробей в десятичные и наоборот

Как мы уже знаем, простые дроби, такие как 5/8, — это непосчитанные операции деления. Десятичные дроби — это результат выполнения операций деления.

От простых дробей к десятичным

Допустим, вам надо посчитать, сколько будет 5 ÷ 8. Для этого сперва попытаемся разделить 5 на 8 — увы, безуспешно. (Если бы можно было делить с остатком, мы бы сказали, что 8 содержится в 5 ноль раз с остатком 5). Чтобы найти ответ в виде десятичной дроби, нужно представить 5 как 5,000000 и затем делить, как обычно, а перейдя за запятую, использовать нули.