Александр Киселев - Математика шахматной доски

© Александр Сергеевич Киселев, 2022

ISBN 978-5-0056-2265-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Взаимоотношения шахмат и математики достойны если не целого романа-эпопеи, то уж как минимум объёмной повести. Математики знают, что в шахматах, как и в любой другой игре с конечным числом позиций, существует выигрышная стратегия для одного из игроков – за это шахматистам впору ненавидеть математиков. Однако общее число всех возможных позиций настолько огромно, что даже современным компьютерам не под силу провести их полный перебор – и за это математикам уже впору возненавидеть шахматистов (или, вернее, того, кто эту будоражащую умы игру изобрёл).

Тем не менее, современные шахматные программы уже стабильно обыгрывают игроков-людей, даже не имея возможности перебрать все варианты – ведь и частичный перебор машине удаётся намного лучше, чем человеку. Но, несмотря на значительные успехи компьютеров, шахматы вполне живы и активно развиваются, как вид спорта.

Многие известные шахматисты (например, А. Е. Карпов или М. Н. Таль) в юности проявляли математические способности и выигрывали математические олимпиады, а М. М. Ботвинник и вовсе был доктором техническим наук и крупным специалистом по электротехнике. Многие известные математики (например, академик А. А. Марков) и физики (например, академик П. Л. Капица) достаточно хорошо играли в шахматы.

Задачи, связанные с шахматной доской, обсуждаются на математических кружках 1 1 Об устройстве непосредственно моего математического кружка написано в Приложении 1. издавна. Наверное, одной из главных причин этого является одновременная обиходная простота шахмат (все дети хоть раз видели доску и большинство даже слышали, как ходят основные фигуры) и их невероятная сложность (ведь гроссмейстеры учатся годами, чтобы научиться выигрывать в этой игре) – этот дуализм, который и делает именно шахматную доску, возможно, наилучшим объектом для исследования на первом году математического кружка, в котором детям ещё чужды абстракции и так важны связи с реальным осязаемым миром.

Задачи, которые обсуждаются в этой книге, делятся на два типа: первый будет связан с разрезанием самой доски и, как правило, вообще не использует магию шахмат (хотя там иногда нелишне бывает вспомнить о раскраске, характерной для шахматной доски), а второй связан с шахматными фигурами, непосредственно с тем, как они ходят и бьют.

Важно отметить, что кружковские задачи о шахматной доске не связаны с шахматными задачами, которые обсуждаются в соответствующих секциях. И, хотя глобальные цели у математического кружка и шахматной секции достаточно похожи – научить ребёнка логически мыслить, планировать, просчитывать на несколько шагов вперёд – методы достижения этих целей всё-таки разные. Олимпиадная математика не растит шахматиста, а лишь воспитывает рациональное и логическое мышление посредством понятных всем примеров. Хотя примеры успешного совмещения олимпиадной математики и спортивных шахмат встречаются среди способных школьников не так уж редко.

В завершение вступительной части отмечу, что ещё больше интересных сюжетов, чем я опишу дальше, на стыке шахмат и математики можно почерпнуть в прекрасной книге [4], написанной шахматистом и кандидатом технических наук Евгением Гиком сорок лет назад. С тех пор ничего настолько масштабного и подробного по теме не выходило.

Клетчатые фигурки, о которых пойдёт речь в этом параграфе, известны людям с древности. Однако публикации различных результатов, связанных с ними, относятся к первой половине ХХ века, а сам термин «полимино» (от греческого πολύς «многий, множественный») ввёл в употребление американский математик Соломон Голомб, в 1953 г. выступивший с докладом о «новой математической забаве» в Гарвардском математическом клубе. Он же впервые использовал названия для конкретных фигур: мономино (состоящее из одной клетки), домино (из двух), тримино, тетрамино, пентамино и гексамино. Впоследствии Мартин Гарднер значительно поспособствовал популяризации этих терминов. В книгах [1], [2] и [3] можно найти ещё много любопытной информации.

Как обычно, за сто с лишним лет после первого появления этих задач (и шестьдесят с лишним после появления названия) задачи, связанные с полимино, сильно помолодели – если тогда их решали взрослые, дипломированные и остепенённые математики, то теперь основными решателями таких задач стали школьники. Некоторые из них вполне доступны даже первокласснику (что проверено на реальных первоклассниках), поскольку не требуют никаких знаний.

Итак, полимино – это клетчатый многоугольник, между любыми двумя клетками которого существует маршрут шахматной ладьи. Это не просто красивая связь с шахматами, а, видимо, самый наглядный способ объяснить школьнику, почему мы не рассматриваем фигурки, в которых клетки соединяются только вершинами.

Первый естественный вопрос, связанный с полимино, это их количество для каждого вида. То, что мономино всего одно, сомнений не вызывает. Как получить все варианты для домино? Достаточно добавить одну клетку к мономино. Легко увидеть, что во всех четырёх случаях получается одно и то же (с точностью до поворота), поэтому фигурка из двух клеток (домино) всего одна.

Рисунок 1. Получаем домино из мономино

Двигаясь дальше, выясняем, что тримино бывают уже двух видов: прямое и угловое.

Рисунок 2. Получаем тримино из домино

Точно так же добавляем клетки и получаем пять различных видов тетрамино (см. рисунок 3) и 12 различных видов пентамино (это упражнение предлагается самостоятельно выполнить читателю, соответствующая картинка приведена в Приложении 2).

Рисунок 3. Получаем тетрамино из тримино

Тетрамино имеют устоявшиеся названия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем (на рисунке 3 слева направо и сверху вниз: прямое тетрамино, T-тетрамино, косое тетрамино, L-тетрамино и квадратное тетрамино).

Аналогично можно получать и все фигурки большего размера.

Достаточно естественным образом встаёт вопрос: из каких полимино можно составить доску? Чаще всего задача формулируется в другую сторону: на какие полимино можно разрезать всю доску (без остатка)? При этом слово «разрезать» здесь не следует трактовать буквально (хотя в моей практике был школьник, который именно так и поступал: брал бумажный квадрат 8×8 и резал его на заявленные части – однако даже к нему быстро пришло понимание, что результат такой работы будет практически невозможно продемонстрировать педагогу).