Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых

Комбинирование разных скоростей

Допустим, вы должны преодолеть на машине 400 миль максимум за 8 часов. Если всю дорогу ехать с постоянной скоростью, формула s = d/t подскажет, что она должна равняться 400 ÷ 8 = 50 миль в час.

Теперь предположим, что вы проехали первые 200 миль со скоростью 40 миль в час. С какой скоростью нужно ехать оставшиеся 200 миль, чтобы уложиться в отведенные 8 часов? Может показаться, что подходящий ответ — 60 миль в час, но это неверно!

Сначала выясним, сколько еще осталось времени. Раз вы про­ехали 200 миль со скоростью 40 миль в час, воспользуемся формулой t = d/s , чтобы узнать, сколько вы уже находитесь в пути: 200 ÷ 40 = 5 часов. Значит, оставшиеся 200 миль нужно преодолеть за 3 часа, поэтому ехать надо со скоростью 200 ÷ 3 = 66,7 миль в час.

ПРОЦЕНТЫ

С процентами мы сталкиваемся повсюду — от магазинов до банков, от платежных ведомостей до результатов экзаменов. Несложные проценты, такие как 50%, 33% или 25%, часто используются для описания специальных предложений в торговых точках, однако если вы имеете дело с налогами или кредитной картой, вам знакомы куда более замысловатые процентные соотношения. Так или иначе, проценты стоят того, чтобы в них разобраться. Как обычно в математике, изначально все исключительно просто: один процент обозначается как 1%, и это в точности соответствует 1/100, или 0,01. А сто процентов, или 100%, — это то же самое, что 100/100, то есть 1.

От дробей к процентам

Чтобы преобразовать простую дробь в проценты, нужно разделить верхнюю часть дроби (числитель) на нижнюю часть (знаменатель) и умножить на 100. Вот как перевести в проценты дробь 2/5.

Также проценты можно преобразовать обратно в дробь, разделив их на 100. Переведем 40% в простую дробь:

Проценты и десятичные дроби тесно взаимосвязаны, поскольку проценты — это первые две цифры после запятой в десятичной дроби: например 0,85 = 85%. Когда после запятой стоит ноль, его важно учитывать! 0,03 = 03%, или просто 3%. Если же после запятой много чисел, следует передвинуть запятую на два знака. Допустим, вы хотите определить, сколько в процентах будет 1/16: вводим в калькулятор 1 ÷ 16 и получаем 0,0625, что соответствует 6,25%.

Уклон дороги

Поднимаясь на велосипеде в гору, вы можете встретить дорожный знак, где обозначен уклон дороги в процентах — чем круче подъем, тем это значение больше. Вот как оно вычисляется:

Вертикальное расстояние, на которое вы поднимаетесь вверх, делится на горизонтальное расстояние, на которое вы продвигаетесь вперед. Например, на каждые 4 метра движения вперед вы поднимаетесь на 1 метр. В прежние времена сказали бы, что это уклон 1 к 4, а нынче записывают как дробь 1/4 и переводят в проценты. Следовательно, уклон 1 к 4 будет обозначен на дорожном знаке как 25%. На первый взгляд это немного, однако если вы не в идеальной физической форме, придется слезть с велосипеда и катить его рядом.

Большинство простых дробей невозможно точно преобразовать в проценты (как и в десятичные дроби). Ниже приведены самые распространенные значения в процентах и соответствующие им дроби; звездочками помечены округ­ленные значения.

50% = 1/2

25% = 1/4

75% = 3/4

33%* = 1/3

67%* = 2/3

10% = 1/10

20% = 1/5

40% = 2/5

60% = 3/5

17%* = 1/6

12,5% = 1/8

Деньги и проценты

Большинство денежных единиц четко соотносятся с десятичными дробями и процентами. Например, в британском фунте 100 пенсов, в одном евро 100 евроцентов, в долларе США тоже 100 центов. Это существенно упрощает расчеты, связанные с деньгами.

Если разделить 29 фунтов между двумя людьми, каждому человеку достанется фунта, или 14,5 фунта (поскольку 1/2 = 0,5). Это значение выглядит несколько странно, поэтому представим его с двумя знаками после запятой. То есть каждому достанется 14,50 фунта, или 14 фунтов и 50 пенсов.

Так как 100% = 1, а 100 пенсов = 1 фунт, 1% от фунта — это 1 пенс. Если в кофейне Barstucks чашка кофе и пирожное стоят 7 фунтов плюс 15% сервисного сбора, несложно посчитать, сколько это будет: 15% от 1 фунта = 15 пенсов, следовательно, 15% от 7 фунтов — это 15 × 7 = 105 пенсов. Значит, всего нужно заплатить 7 + 1,05 = 8,05 фунта, и не пытайтесь всучить им 8 фунтов — как знать, что они добавят во взбитые сливки, когда вы придете в следующий раз.

Как выгадать на скидках

Умение сравнивать дроби и проценты поможет вам сэконо­мить. Предположим, вам нужно купить много батареек, и вы наш­ли три магазина, предлагающих разные скидки:

Без учета скидок батарейки в этих магазинах стоят 50 пенсов — где же их выгоднее купить? Для этого необходимо выяснить акционную цену одной батарейки.

Скидка 30%:

В этом случае цена составит 70% от обычной. 50 × 70% = 50 × 0,7 = 35 пенсов. (Считать будет проще, если представить 50 × 0,7 как 5 × 10 × 0,7. Тогда 10 × 0,7 = 7, и ответ будет равен 5 × 7 = 35.)

Купи 2 и получи 1 бесплатно:

В этом магазине три батарейки предлагают по цене двух. Обычная цена двух батареек 2 × 50 = 1 фунт, но поскольку за эти деньги можно купить три батарейки, каждая обойдется в 1 ÷ 3 фунта, то есть около 33 пенсов.

Купи 1 и получи еще 1 за полцены:

Первая батарейка стоит 50 пенсов, а вторая 1/2 × 50 = 25 пенсов, следовательно, за обе вы отдадите 75 пенсов, то есть одна батарейка обойдется вам в 75 ÷ 2 = 37,5 пенса.

Наименьшая цена — около 33 пенсов, то есть выгоднее всего предложение «Купи 2 и получи 1 бесплатно». Но тут вы заметили еще один магазин, цена батареек в котором выше, 65 пенсов, зато там проходит акция «Купи 1 и получи еще 1 бесплатно». Во сколько в этом случае обойдется одна батарейка?

Две батарейки стоят 65 пенсов, значит, цена одной составит 65 ÷ 2 = 32,5 пенса. Это самое выгодное предложение!

Имея дело со скидками, обратите внимание на один момент: предположим, вы покупаете не батарейки, а местную газету. Вам нужен лишь один экземпляр, так что нет смысла покупать две газеты за 65 пенсов, если можно купить одну за 35 пенсов в магазине, где предлагают скидку 30%. Как ни странно, некоторые люди не в силах устоять перед «самым выгодным предложением», даже если им оно не нужно!