Эндрю Штульман - Сбитые с толку

Ребенок:Одна вторая или ноль целых пять десятых.

Ученый:А сколько примерно чисел между нулем и единицей?

Ребенок:Много.

Ученый:Представь, что ты разделил два пополам, получил единицу и опять разделил ее пополам. Можно так делить до бесконечности?

Ребенок:Да. Когда что-то делишь, всегда что-то остается.

Ученый:Ты когда-нибудь получишь ноль?

Ребенок:Нет, потому что есть бесконечно много чисел меньше единицы, но больше ноля.

Крайне важно то, что осознание детьми делимости чисел сопровождает осознание делимости материи. Дети, утверждающие, что числа на каком-то шаге деления перестают существовать, согласны и с тем, что материальные вещества в какой-то момент деления теряют вес, в то время как дети, несогласные с первым утверждением, не согласны и со вторым. И тем не менее, если понимание приходит не одновременно, отстает именно представление о бесконечной делимости чисел, то есть бесконечную делимость материальных сущностей (предметов) дети усваивают раньше бесконечной делимости нематериальных (чисел).

Понимание строения материи, таким образом, может стать трамплином к более сложному пониманию чисел. Бесконечная делимость, как и бесконечная плотность, — очень важная идея, которую можно перенести из одной области в другую. Подчеркивание параллелей между этими явлениями — очень продуктивная стратегия преподавания натуральных дробей и других видов рациональных чисел, например десятичных дробей и процентов [58] Moss and Case, 1999. . Ученики, которых учили ассоциировать дроби с долей емкости, заполненной водой (веществом), успевают намного лучше, чем те, которым дроби показывали в виде кусков пирога (предмета). Предметы бывают полезны при освоении целых чисел, так как и то и другое дискретно, связано и едино, но дроби лучше объяснять на примере веществ, так как и то и другое непрерывно, делимо и обладает плотностью. Параллели между числами и материей проходят глубже, чем в самих этих областях.

Что тяжелее: килограмм пуха или килограмм золота? Конечно, ни то ни другое: килограмм и есть килограмм. Но вполне вероятно, что перед тем, как ответить на этот вопрос, вы на секунду задумались. Золото «весомее» пуха, и концепция тяжести вступает в противоречие с концепцией веса. Тяжесть и величина — это воспринимаемые качества материи. Они сохраняются при изменениях ее концептуального понимания и мешают рассуждать о материальных явлениях на протяжении всей нашей жизни [59] Shtulman and Valcarcel, 2012; Shtulman and Harrington, 2015. .

Возьмем задачу о том, какой предмет утонет, а какой — нет. Взрослые быстро оценивают, что большие плотные предметы, например сковородка, идут ко дну, а легкие и воздушные, например упаковочный пенопласт, остаются на поверхности. Однако сравнить легкий, но при этом плотный предмет, например железную стружку, с тяжелым, но воздушным, например пенопластовой коробкой, уже сложнее. Даже если человек признает, что плотность — единственный параметр, имеющий отношение к задаче, тяжесть и величина все равно вмешиваются в рассуждения [60] Potvin, Masson, Lafortune and Cyr, 2015. .

Тяжесть и величина нарушают и способность отделять материальные сущности от нематериальных. Если попросить человека быстро классифицировать «материальное» и «нематериальное», неощутимые вещества (чернильные пятна, духи, воздух) потребуют больше времени, чем ощутимые (камни, кирпичи, ботинки). Ошибки будут совпадать с детскими ошибками в аналогичных заданиях без ограничения времени. В одном из исследований скоростной классификации взрослые относили чернильные пятна к материи лишь в 85% случаев, духи — в 83%, а воздух — в 75%. И наоборот, в 35% случаев к материи причисляли гром, в 37% — свет звезд, а в 57% — молнию [61] Shtulman (дата публикации неизвестна). . Даже Антуан Лавуазье, основоположник современной химии, был сбит с толку физической сущностью тепла и света. И то и другое он отнес к элементам материи [62] Bynum, 2012. .

Чтобы сбиться в рассуждениях о материи, не обязательно нужна нехватка времени. Люди ошибаются и в обычных ситуациях. Например, мы ставим заполненную до краев бутылку воды в холодильник, забывая, что она лопнет, когда вода внутри расширится. Мы переплачиваем за большие упаковки продуктов, не задумываясь об эквивалентности количества на единицу упаковки в товарах разных размеров. Мы перенапрягаемся, расчищая снег с дорожки, не осознавая, что скопление не имеющих тяжести снежинок — это десятки килограммов замерзшей воды. А еще мы не можем разобраться, наполовину пуст стакан или наполовину полон, хотя в действительности он заполнен целиком — отчасти жидкостью и отчасти газом.

Мой любимый бытовой пример ошибок, связанных с материей, — это разливное пиво в пабе. Стандартный стакан на пинту — 0,47 литра — размером 14,9 сантиметра в высоту, 8,2 сантиметра в диаметре сверху и 6 сантиметров в диаметре у донышка. Сколько пива, по-вашему, будет не хватать, если на глазок налить стакан не до краев, а до высоты 12,7 сантиметра?

Почти четверти объема! Ведь стакан сужается книзу и в его верхней части умещается больше пива, чем в нижней. Большинство забывают, сколько пива упускают из-за недолива, но теперь решение проблемы найдено. Предприимчивые любители пива изобрели карманный прибор для измерения уменьшения объема пива в зависимости от высоты. Его название хорошо отражает происхождение идеи: пивоизмеритель Пиаже.

Рис. 2.5. Бытовых ошибок на сохранение очень много даже у взрослых. Хороший пример — хроническое неумение оценить, сколько пива не хватает в неполном стакане

В середине XVII столетия во Флоренции была основана Академия дель Чименто — Академия эксперимента. Целью этого общества было изучение тайн природы путем наблюдений и опытов. Его члены создали одни из первых градуированных лабораторных инструментов, размеченных стандартными единицами, например спиртовые термометры [63] Middleton, 1971. . Они пользовались такими термометрами, чтобы разобраться в тепловых явлениях, например в том, как происходит расширение жидкостей при замерзании, расширение твердых тел при нагревании, и во влиянии тепла и холода на атмосферное давление.

В одной серии экспериментов флорентийские ученые помещали сосуды с разными жидкостями — розовой водой, фиговой водой, вином, уксусом и растопленным снегом — в ледяную ванну, чтобы вызвать замерзание. Когда жидкости замерзли, расширение отмечалось по отношению к температуре. Странно то, что экспериментаторы ставили термометры не в сам сосуд, а в лед рядом с ним. Прошло 250 лет, и измерение точки замерзания стало обычным экспериментом на детских научных ярмарках. Все инструкции по их проведению рекомендуют помещать термометры в замораживаемую жидкость. Почему же флорентийцы поступали иначе?