Анатолий Ракитов - Трактат о научном познании для умов молодых, пытливых и критических

Создание математических и логических доказательств позволило в корне изменить этот привычный способ рассуждения. Математики осуществляют переход от одних утверждений к другим на основе заранее установленных правил, которые учитывают лишь форму данных утверждений, не касаясь по существу дела их содержания, то есть тех сторон и свойств действительности, к которым эти утверждения относятся или могут относиться и применяться. С примерами таких доказательств или, как их часто называют, формальных преобразований вы хорошо знакомы по курсу школьной математики.

В самом деле, беря ту или иную алгебраическую, геометрическую или тригонометрическую формулу, вы, пользуясь заранее установленными правилами, можете получить из них целый ряд других, необходимых вам для той или иной цели формул, даже не задумываясь о том, каково значение входящих в формулы величин.

Какие же преимущества сулит такой подход к математике?

Отныне ученик получает от своего учителя не готовый рецепт, который остается только зазубрить, но прежде всего метод математического рассуждения, доказательства, а вместе с тем и способ открытия новых теорем. Учитель сообщает ранее полученные теоремы или аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства, а также основные логические правила — рассуждения и формулы, позволяющие преобразовывать уже известные теоремы в другие. Мало того, что каждое доказанное предложение приобретает достоинство объективной истины, процедура доказательства снимает всякие сомнения в этом, но, что гораздо важнее, математические предложения становятся понятными. Каждый, кто обладает способностями и необходимыми познаниями, может сам открывать и доказывать такие теоремы.

Не стоит, впрочем, думать, что открытия рождаются всегда в самой процедуре доказательства. Гораздо чаще доказательство применяется для установления связи и взаимной зависимости утверждений, открытых в результате других творческих процессов, часто даже эмпирических наблюдений. Величайший мыслитель Нового времени Галилей недаром подчеркивает в одной из своих бесед, что Пифагор, прежде чем доказать свою знаменитую теорему, по-видимому, нашел заключенное в ней соотношение эмпирическим путем. Известно также, что Архимед, прежде чем привести строгие математические доказательства, например, своей знаменитой теоремы о квадратуре параболы, позволяющей выразить площадь фигуры, ограниченной кривой линией, через площадь более простого прямоугольника, сначала производил ряд чисто механических экспериментов. Он вырезал параболические фигуры и различные прямоугольники из папируса и взвешивал их, стараясь найти сначала весовое соответствие, а затем, найдя такое соответствие приблизительно, придал ему форму строго геометрического доказательства. Тем не менее открытие доказательства и формальных преобразований как основного механизма построения математики привело к ее удивительному расцвету в Древней Греции.

Между зарождением египетской, а затем вавилонской математики и Фалесом лежит почти тысячелетний период. За это время сделано немало: открыты важные арифметические правила, осуществлены некоторые геометрические построения.

И все же это несоизмеримо мало по сравнению с тем, что сделано за три столетия, отделяющие Фалеса от знаменитого александрийского математика III века до н. э. Евклида. Он, как известно, впервые в истории науки изложил стройную систему геометрического знания. В его «Началах» систематизированы почти все известные к тому времени основные теоремы геометрии и арифметики. Что, однако, особенно важно, эти знания не просто агрегат, не просто механическое соединение, не просто сумма различных, не связанных частей, так сказать, порций математической информации, а последовательное, логически обоснованное построение.

Вначале излагаются аксиомы,а затем из них по правилам доказательства выводятся все полученные к этому времени теоремы геометрии. Такое построение математики, получившее с тех пор название аксиоматического метода, стало образцом для развития европейской математики на протяжении двух последующих тысячелетий. Возникнув из практических потребностей пересчета домашнего скота, денег, товаров, из необходимости проектировать крупные постройки, вроде пирамид и осушительных каналов, рассчитывать земельные участки и т. д., геометрия и арифметика, благодаря открытию логических доказательств и формальных преобразований, получили мощный толчок и стали развиваться в силу, как теперь говорят, внутренней логики. Накопление точных, общезначимых, доказательных математических знаний, позволявших производить точные расчеты и вычисления, с успехом заменявшие трудноосуществимые эмпирические измерения, побудило греческих мыслителей применить математику к наблюдаемым явлениям. Уже Фалес, как гласит легенда, пытался воспользоваться теоремами о подобии треугольников для измерения расстояния от берега до корабля.

Находясь в точке А (см. рис. 1) побережья, он завизировал направление на мачту находящегося в море корабля, а затем на другую точку побережья В . Перейдя в точку В, он проделал такую же процедуру, направив на этот раз визир на мачту и точку А. Затем он построил небольшой треугольник с основанием ав и углами при вершинах а иве соответственно равными углами при вершинах А и В треугольника ABC. Измерив затем расстояние ав и расстояние АВ и применив теорему о подобии треугольников, Фалес без труда смог точно рассчитать расстояние до корабля, которое при тогдашних методах измерения трудно было бы установить иным методом.

Мысль о том, что применение математики может не только облегчить практически вычисления и расчеты, но и позволяет познать явления, которые иным способом вообще не могут быть познаны или могут быть познаны с трудом и менее точно, очень быстро овладело умами мыслителей. Архимед (287 — 212 гг. до н. э.) был одним из самых великих греческих механиков, широко применявших математику для решения механических и физических задач. Сочетая вычисления с наблюдениями, он, в частности, открыл знаменитый закон об уменьшении веса тел, погруженных в жидкость. Другое интересное применение, и, быть может, самое перспективное, в античную эпоху математика нашла в астрономии. В частности, александриец Эратосфен воспользовался геометрическими построениями, чтобы вычислить длину земного меридиана, поскольку он считал Землю шарообразной. Аристарх Самосский, живший в III веке до н. э., воспользовался геометрической моделью пространства для измерения диаметра Луны и расстояния до Солнца. Считая, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна вокруг Земли, он правильно представил себе пространственно-геометрическую модель расположения этих трех тел, при котором ровно половина лунного диска является освещенной. Аристарх правильно решил, что при таком освещении Луна должна находиться в вершине прямого угла в треугольнике, образованном Землей, Луной и Солнцем. Завизировав направление на Солнце и границы освещенной части Луны, а также воспользовавшись некоторыми исход-72 ными данными о размерах Луны, Земли и некоторыми другими сведениями, с большей или меньшей точностью установленными им самим и его предшественниками, Аристарх сделал важные вычисления, оставившие определенный след в античной астрономии. В этом отчетливо проявляется возможность использовать математические построения для вычислений, дополняющих и продолжающих практические астрономические измерения.