Дэниел Левитин - Путеводитель по лжи [Критическое мышление в эпоху постправды]

Главное правило круговых диаграмм: сумма процентов во всех секторах должна быть равна 100. (Fox News, 2010)

Можно легко объяснить, как такое могло произойти. У избирателей есть возможность отдать свой голос более чем за одного кандидата. Однако в таком случае нельзя представлять результаты в виде круговой диаграммы.

Среднее значение может быть весьма полезно, да и разобраться с ним проще, чем с круговой диаграммой. Оно позволяет нам охарактеризовать огромное количество информации одним-единственным числом. Например, мы хотим узнать среднее благосостояние людей в комнате, чтобы понять, принесет ли встреча с ними какую-нибудь пользу нашим фандрайзерам {1} или менеджерам по продажам. Другой пример: мы хотим узнать среднюю цену на бензин, чтобы оценить, во сколько обойдется поездка на машине из Ванкувера в Банф. Однако средние могут быть обманчиво сложными.

Есть три вида средних, и они могут выражаться разными числами. Поэтому те, кто всерьез занимается статистикой, избегают слова «среднее», отдавая предпочтение другим, более точным терминам, как то: среднее арифметическое, медиана или мода. И только так. Иногда все эти величины совпадают, но чаще они различаются. Если вам встретилось слово «среднее», оно, как правило, означает «среднее арифметическое», но нельзя быть в этом абсолютно уверенным.

Чаще других из этих трех встречается среднее арифметическое; оно равно сумме всех данных, поделенной на их количество. Например, среднее благосостояние всех людей, находящихся в комнате, будет равно их общему благосостоянию, поделенному на количество человек. Если в комнате находится десять человек, состояние каждого из которых оценивается в 100 тысяч долларов, то общее богатство составит миллион. Отсюда легко вычислить среднее арифметическое (даже доставать калькулятор не нужно): 100 тысяч долларов. А если состояние каждого присутствующего будет варьироваться от 50 тысяч до 150 тысяч долларов, но общее количество будет по-прежнему миллион, то среднее арифметическое по-прежнему будет 100 тысяч долларов (потому что мы просто разделим миллион на десять, не принимая во внимание, сколько денег на счете у каждого).

Медиана — это число в середине упорядоченного набора чисел (статистики называют его выборкой): половина данных находится ниже этого значения, а половина выше. Как вы помните, смысл среднего значения в том, чтобы охарактеризовать весь объем данных одним-единственным числом. Медиана лучше с этим справляется, если некоторые из ваших данных уж очень отличаются от большинства, статистики называют такие значения выбросами .

Представим себе комнату, в которой находятся девять человек; состояние восьмерых из них равно примерно 100 тысяч долларов, а один находится на грани банкротства, его долг равен 500 тысячам долларов. Вот что у нас получится:

Человек 1: –500 тыс. долл.

Человек 2: 96 тыс. долл.

Человек 3: 97 тыс. долл.

Человек 4: 99 тыс. долл.

Человек 5: 100 тыс. долл.

Человек 6: 101 тыс. долл.

Человек 7: 101 тыс. долл.

Человек 8: 101 тыс. долл.

Человек 9: 104 тыс. долл.

Теперь складываем все показатели и получаем общую сумму в 299 тысяч долларов. Разделим это число на общее количество участников, девять, и получится, что среднее арифметическое равно 33 222 долларам. Создается, однако, впечатление, что среднее арифметическое — не лучший способ охарактеризовать данные о присутствующих. Смею предположить, что фандрайзер не захочет наносить им визит, если среди них найдется человек с показателем-выбросом, который тянет вниз всю группу. В этом и заключается вся трудность работы со средним арифметическим: оно слишком чувствительно к выбросам.

Медиана здесь равна 100 тысячам долларов: четверо зарабатывают меньше этой суммы, а четверо — больше. Мода равна 101 тысяче долларов — это та цифра, которая появляется намного чаще других. И медиана, и мода в этом конкретном примере оказываются гораздо показательнее.

Можно по-разному использовать средние, особенно если вы хотите, чтобы кто-то увидел в ваших данных то, что нужно вам.

Давайте представим, что вы с двумя друзьями запустили стартап — небольшую компанию, в которой работают пять человек. Сейчас конец года, вы собираетесь подвести финансовые итоги и рассказать сотрудникам, как у компании идут дела, чтобы они почувствовали удовлетворение от долгих часов, проведенных в офисе, и от холодной пиццы, съеденной за это время. А еще вы хотите привлечь инвесторов. Скажем, четверо сотрудников — все программисты — за год заработали по 70 тысяч долларов, а один — офис-менеджер — 50 тысяч. Это даст среднее арифметическое зарплат, равное 66 тысячам долларов в год: сумма (4 × 70 000) + (1 × 50 000), поделенная на 5. Вы и двое ваших друзей принесли домой по 100 тысяч долларов — это ваша зарплата. Следовательно, общая сумма выплаченных зарплат составит (4 × 70 000) + (1 × 50 000) + (3 × 100 000) = 630 тысяч долларов. Кроме того, пусть ваша компания принесла 210 тысяч долларов чистого дохода, который вы разделили поровну между собой и соучредителями в качестве бонусов, это дает каждому из вас по 100 тысяч + 70 тысяч. Как вы им об этом сообщите?

Вы могли бы сказать:

средняя зарплата сотрудников составляет 66 тысяч долларов;

средняя зарплата + прибыль владельцев составляет 170 тысяч долларов.

И хотя это правда, вряд ли новость понравится кому-нибудь, кроме вас и вашей мамы. Если ваши подчиненные прознают об этом, то решат, что им существенно недоплатили. А потенциальные инвесторы сочтут, что учредителям платят слишком много. Поэтому вы можете оформить отчет по-другому:

средняя зарплата сотрудников составляет 66 тысяч долларов;

средняя зарплата владельцев составляет 100 тысяч долларов;

прибыль: 210 тысяч долларов.

Для потенциальных инвесторов это выглядит убедительнее, тем более что им можно и не говорить о том, что вы поделили прибыль между совладельцами. А сотрудникам последнюю строку можно и вовсе не показывать. Каждый из четырех программистов будет думать, что он на хорошем счету и его ценят, так как зарабатывает он больше, чем большинство. Единственный, кто будет не очень доволен, — ваш офис-менеджер. Но ведь девушка и раньше понимала, что программисты зарабатывают больше нее. Теперь представим: вы чувствуете, что перегружены работой, и хотите уговорить ваших партнеров, которые не сильны в критическом мышлении, что вам нужно нанять еще сотрудников. Вы можете поступить так же, как в таком случае делают многие компании, и заявить о «прибыли на одного сотрудника», поделив прибыль компании, равную 210 тысячам долларов, на пятерых: