Эвальд Ильенков - Школа должна учить мыслить!

Если же говорить о тех математических «знаках», с помощью которых эти наиболее общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а скорее те знаки, которые давным-давно использует алгебра. [50]

Это – знаки равенства, неравенства. Знак «больше» (>), знак «меньше» (<). И все эти знаки обозначают отношения величин . Именно «величин» – то есть любых величин, неважно каких в частности, выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных. Отношения величин вообще .

Само собой понятно, что представление о «величине» и в истории мышления появилось у людей раньше, чем умение точно измерять эти величины тем или иным способом и выражать их «числом».

Умение выделять из всего многообразия чувственно-воспринимаемых качеств вещей специально лишь одно, а именно – их «величину». А затем – умение сравнивать эти «величины» или вещи только как величины . Судить – равны они или нет. Судить, какая из них «больше» или «ближе», какая «меньше» или «дальше» – в пространстве или во времени.

А уж затем, когда обнаружилось, что суждения такого рода слишком «общи», слишком неполны (= «абстрактны»), чтобы действовать в мире на их основе, стал возникать вопрос, а на сколько именно «больше» («меньше»). И только здесь, собственно, возникла и потребность в «числе» и «счете», и сами «число» и «счет».

По той причине, что без них, без этих более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже нельзя было бы решить более сложных и конкретных предметно-практических задач, связанных с отражением количественной определенности окружающего мира...

Человек «изобрел» число вовсе не путем «абстрагирования» от всех и всяких «качеств», не благодаря тому, что научился «не обращать внимания» на разницу камня и мяса, палки и огня. Как раз наоборот – в «числе» и «счете» он нашел средство более глубокого и конкретного выражения именно качественной (самой важной и первой) определенности.

Число «понадобилось» человеку там и только там, где жизнь поставила его перед необходимостью сказать другому человеку (или самому себе) – не просто «больше» («меньше»), а насколько больше (меньше).

Это предполагает более высокий и развитый способ отношения человека к вещам окружающего мира, нежели [51] тот, на почве которого он научился различать «величины» лишь примерно, приблизительно – абстрактно.

Число предполагает меру как более сложную, чем «качество» и «количество», категорию, которая позволяет отражать количественную сторону выделенного качества точнее (конкретнее), чем прежде. И точно фиксировать это более конкретное представление с помощью цифр, а не просто словечек «больше», «меньше», «равно», «неравно».

От общего, диффузно-нерасчлененного представления о «количестве» он шел к более совершенному, точному, то есть конкретному представлению о том же количестве – к «числу». И пришел.

И поэтому «число» для него имело с самого начала вполне конкретный, то есть предметно-практический, смысл и значение. Это и было действительное понятие числа, хотя еще и не проанализированное теоретически ни одним профессионалом-математиком. Это случилось лишь гораздо позже – тогда, когда началось уже не только математическое мышление, а и его теоретическое «самосознание». Вначале – превратно-мистическое, как у пифагорейцев. А до подлинного теоретического понимания числа математика добралась лишь многие тысячелетия спустя.

Вот с этого-то подлинного начала и в этой подлинной исторической последовательности, которую математика как наука открыла лишь «задним числом», и следует, по-видимому, начинать логическое развитие ума ребенка в области математики.

С того, что сначала нужно научить его ориентироваться самым общим и абстрактным образом в плане количества и овладеть самыми общими и абстрактными отношениями вещей как «величин». И записывать эти отношения на бумаге с помощью знаков «больше», «меньше», «равно», «неравно».

Но ориентироваться в плане количества ребенок обучается при этом вовсе не путем «абстрактных рассуждений», а на самых что ни на есть реальных и понятных ему ситуациях. На «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т.д. Для ребенка это – понятно и интересно.

Для ума ребенка это – тренировка умения самостоятельно выделять количественно-математический аспект реальных вещей окружающего его многокачественного мира. [52] А не по-попугайски повторять слово «один», когда ему в нос суют единичную чувственно-воспринимаемую «вещь», или слово «два», когда ему суют в нос две таких вещи.

Благодаря этому ребенок уже не ответит бездумно на абстрактно-провокационный вопрос – «сколько?», когда ему покажут одну (две, три и т.д.) единичную чувственно-воспринимаемую вещь, словом «одна», «две» и т.д. Он предварительно осведомится – «а чего сколько?»

А это – показатель, что он уже здесь – в случае числа – мыслит конкретно . А не как рыночная торговка, бездумно навешивающая ярлык словесно-зафиксированной абстракции на конкретную вещь и думающая, что тем самым «понимание» этой вещи – исчерпано...

Если ему отвечают на его законный вопрос: «я спрашиваю, сколько здесь вещей...», – он уверенно и точно ответит: «одна».

Если же ему уточнят: «сколько сантиметров?», – он ответит «два», «примерно два», или же скажет: «нужно измерить». Он понимает, что выражение через число (цифру) предполагает измерение, меру...

Здесь воспитано разом два важных признака «ума»: во-первых, умение правильно относиться к вопросу («сколько?») и умение самому задавать вопрос, уточняющий задачу настолько конкретно, чтобы стал возможен точный и однозначный ответ («сколько чего ?»). И во-вторых, умение правильно соотносить числовой знак с реальностью в ее математическом аспекте.

Здесь ум ребенка идет не от наглядных частностей – к абстрактно общему, так как это совершенно неестественный и бесплодный в науке путь, а от действительно всеобщего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию частностей (то есть к конкретному) {12} {12} Подробнее об этом см., например, книгу: Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» К. Маркса. Москва: Издательство АН СССР, 1960. .

Ибо так развивается и сама наука, усваивающая в свете исходных принципов все новые и новые «частности». А не наоборот, не уходящая от «частностей» в заоблачные выси тощих абстракций...

Здесь мышление движется все время в чувственно-предметном (а потому и в «наглядном») материале, движется по фактам, ни на миг не обрывая связи с ним. [53]

Так ребенок осваивает самую чувственно-предметную действительность математических понятий , а не ее плохой заменитель-эрзац, не «наглядные примеры» готовых и непонятных для него абстракций. У него развивается математическое мышление. В него не нужно вдалбливать груды абстрактных словечек, рецептов, штампованных схем и рецептов «типовых решений», которые он потом никак не может «применить». Поэтому для него вообще не встает потом нелепейшая задача – а как же «применить» усвоенные (то есть задолбленные) общие знания к жизни, к реальной действительности. Это общее знание для него с самого начала и есть не что иное, как сама действительность, отраженная в ее существенных чертах, то есть в понятиях. В понятиях он усваивает именно действительность, отражаемую ими. А не «абстракции», которые он потом никак не может соотнести с «действительностью».