Виктор Аллахвердов - Методологическое путешествие по океану бессознательного к таинственному острову сознания

Отход математики от мистического обоснования с помощью требования субъективной очевидности всех проводимых операций протекал долго и болезненно. Лишь в XIX в. стало появляться предчувствие, что единственно Истинных аксиом и несомненно достоверных Истинных правил вывода вообще не существует. Но тогда в принципе можно придумывать любые аксиомы и создавать любые правила игры. Создание новых логических и математических структур – это есть лишь создание правил новых математических игр, где одни признанные аксиоматически правильными высказывания преобразуются в другие. Математика сродни мифотворчеству, – утверждал великий математик ХХ в. Г. Вейль. [325] Вейль Г. Симметрия. М., 1968, с.8. «Аксиомы, – признавался А. Эйнштейн, – свободные творения человеческого разума». [326] Эйнштейн А. Собр. соч., т.2, М., 1966, с.84. Важно лишь, чтобы и аксиомы, и правила для самих играющих были однозначны и не приводили в итоге к противоречию. Ведь если один игрок играет по одним правилам, а другой – по другим, или если один игрок одновременно должен делать два разных, не совместимых друг с другом действия, то игры не получится. Играющий в преферанс в принципе не способен выиграть у человека, играющего в этот момент в подкидного дурака, в шашки или в биллиард. Нельзя ни назвать какую-либо одну из игр верной, ни оценить, кто из игроков, играющих в разные игры, играет лучше. Так и в логико-математических науках – оценке подлежит только одно: может ли данное высказывание быть получено из заданной системы аксиом путем тавтологических преобразований (т.е. преобразований по заданным правилам) самих этих аксиом. В этих науках нет и не может быть критерия оценки истинности высказывания как достоверного высказывания об окружающем мире, есть только критерий оценки правильности, корректности высказывания.

Сами по себе разные игры отнюдь не обязательно должны быть согласованы между собой и взаимно непротиворечивы. Соответственно разных математических структур может быть много, и они вполне могут противоречить друг другу. Сами математики тоже осознали это далеко не сразу. Творцы неэвклидовой геометрии К.Ф. Гаусс и Н.И. Лобачевский еще не могли допустить возможность существования множества равно корректных геометрий и хотели понять, какая из геометрий более правильная. [327] Овчинников Н.Ф. Методологические принципы в истории научной мысли. М., 1997, с.147-158. А математически менее просвещенная публика видела в создании не знакомой им эвклидовой, а какой-то иной геометрии просто сплошную дурь. Вот пишет Н.Г. Чернышевский: "Лобачевского знала вся Казань. Вся Казань единодушно говорила, что он круглый дурак" И делает показательный вывод: "Это смех и срам серьезно говорить о вздоре, написанном круглым дураком". [328] Чернышевский Н.Г. Избранные философские сочинения. М., 1938, с.508. Да, ладно! Чернышевский хотя и был ярым проповедником мифа о естественных науках, но сам же признавался, что не знает и не хочет знать ни самих этих наук, ни математику. Специалистам лишь спустя почти столетие после создания неэвклидовой геометрии стало понятно, что могут развиваться совершенно разные математические структуры, просто применяться они должны к разным задачам. Г. Минковский в начале ХХ в. создал псевдоэвклидовую геометрию. В ней дополнительным к обычной эвклидовой геометрии и не противоречащим её аксиомам правилом – новой аксиомой – было утверждение о существовании не менее двух прямых, которым запрещено проходить через каждую точку. В итоге оказалось, что хотя в этой странной геометрии не верна теорема Пифагора, но зато она хорошо подходит к описанию специальной теории относительности.

Но все-таки логика и математика – это не игра в бисер. Как правило, и логики, и математики конструируют и развивают такие структуры, которые интуитивно кажутся им осмысленными, привязанными к внутреннему или внешнему миру. Что, например, побудило Минковского ввести упомянутую выше аксиому? На стандартном графике пути (S) по времени (t) прямая , проведенная через точку и перпендикулярная оси времени t, не имеет физического смысла (так как никакое перемещение невозможно без затрат времени). Если рассматривать сам график как некую геометрическую конструкцию, отражающую реальные физические явления, то подобные прямые в этой геометрии следует запретить. А если учесть, что скорость любого перемещения, согласно теории относительности, не может превосходить скорости света, то появится уже огромное число запрещенных прямых, проходящих через данную точку. Эти прямые, на самом деле, и вводятся обсуждаемой аксиомой, ибо если запрещены, по меньшей мере, две прямые, то далее уже можно доказать , что всех запрещённых прямых бесконечно много.

Однако природа логико-математического знания такова, что побуждает анализировать любые создаваемые математические структуры – не зависимо от того, что именно вызвало их создание. Результаты математической работы никогда не оцениваются по непосредственной пользе, которая обычно, впрочем, вообще отсутствует. Оценивается красота найденного приема доказательства, возможность использования этого приема в других исследованиях, логическая завершенность и строгость изложения и т.п. Другое дело, что математики живут в реальном социокультурном мире, а этот мир так или иначе стимулирует исследование тех структур, которые имеют ценность за пределами чисто внутренних математических интересов.

Люди всегда хотят делать надежные, не приводящие к противоречию выводы, а потому без развитых логических и математических структур им не обойтись. Некоторые из математических структур оказались, к тому же, удивительно хорошо приспособлены для формулировок физических законов и выведения из этих законов проверяемых следствий. Однако, думается, не следует рассматривать математику как «чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем», как написал в своей знаменитой статье "Непостижимая эффективность математики в естественных науках" выдающийся физик Е. Вигнер. Просто любое естественнонаучное утверждение должно быть написано на каком-нибудь языке, а математика – это универсальный язык для непротиворечивого, однозначного и тождественного преобразования высказываний, а потому вообще самый надежный, самый корректный язык, который только может существовать. Этим языком может пользоваться кто угодно и для каких угодно задач: не только физики, но и банкиры, пчеловоды, кардиналы. Ибо только на этом языке можно надежно сделать достаточно сложное и при этом, если не обсуждать тонкости, заведомо непротиворечивое описание мира. Для самих же математиков – это единственно употребимый язык для описания действий с придуманными ими же самими объектами, которых в реальности заведомо не существует.