М. Бабаев - Приборостроение

то есть в любом случае произойдет событие А или событие Д.

Событие называется независимым, если его появление не зависит от появления любого другого события. Иначе событие называется зависимым.

Условная вероятность – такая вероятность события А, которая вычислена при предположении, что событие Д произошло: при этом события А и В являются зависимыми, они обозначаются как Р(А /В) или Р(А)В.

Совместное (одновременное или последовательное) появление нескольких независимых событий А, В, С, Fназывается сложным событием. Вероятность сложного события определяется путем умножения вероятностей составляющих его событий.

Р (АиВиСи…иF)= Р(А) × Р(В) А× Р (С АВ) ×… × Р(F) АВС.

В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.

Р (АиВиСи…иF)= Р (А) × Р (В) × Р (С) × … × Р (f).

Формула, которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула выглядит следующим образом:

Р(А ν В ν С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АиВиС).

Р (АиВиС)= Р (А) × Р(В) × Р (С)

С учетом этого получим

Р (А ν В ν С)=Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А) × Р (В) × Р (С).

Теперь, после некоторого ознакомления с арифметическими операциями над вероятностями, можно привести формулу полной вероятности

В формуле предполагается, что событие А может произойти только с одним из n несовместимых событий B 1….,B n, то есть группа событий А и B 1, или А и B 2и т. д. Любая группа из этого ряда равносильна появлению события А.

Пример 2. Пусть события D, Е, F независимые. Какова будет вероятность событий трех извлечений подряд небракованных деталей при условии, что выборка повторная.

Решение. При данном условии после извлечения каждый раз бракованной детали, а больше одной детали нельзя извлечь, количество бракованных деталей с каждым разом уменьшается на единицу. В третий раз будет извлечена последняя бракованная деталь.

Затрагивая вопрос о вероятности некоторого события, нельзя не говорить о закономерностях появления случайных величин.

Чтобы упростить ситуацию, эти величины делят на:

1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;

2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.

Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х 1 , x 2 , x 3 …, х i…., x k , и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность P x. Тогда ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид P x,P x1,P x2,…,P xi,…,P xk.

Очевидно, что вероятность P xявляется некоторой функцией от переменной х и имеет вид: P x= f(х), где x = x i, i = 1, 2…, k.

Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.

1. Случайная величина – дискретная (прерывная).

Случайная величина х < х', где х < х' задано, может выражаться следующим образом:

Функция F(х)=F(х') называется функцией распределения случайной прерывной величины ч. 2. Случайная величина – непрерывна. Плотностью вероятности P xв точке X = х называется предел вида

Следовательно, функцию F(х') можно дифференцировать, тогда

F ( х )= f ( х )

Основные свойства функции распределения следующие:

1) х = ∞;F(∞)= 1;

2) х = —∞;F(∞) = 0;

3) если аргумент x возрастает, т. е. если рассмотреть случай х 2 > х 1 , то F(x 2 ) > F(x 1 ).

Если рассмотреть ΔF(х)=F(х 2 )-F (х 1 ) то

Основные характеристики случайных величин.

1. Меры положения.

Таковыми называют (считают) точки, вокруг которых происходит колебание характеристики величин.

Сумма произведений эмпирических значений случайной величены x iна соответствующие частности называется выборочным средним

– это статистическая характеристика, соответствующая параметрам, т. е. теоретическому анализу, называемая средним значением случайной величины или математическим ожиданием случайной величины.

Математическое ожидание обозначается как

или м.о.(х), и определяется по уже известному теоретическому распределению.

При прерывности случайной величины

где p(x) – функция, которая определяет вероятности p(x) для всех x iслучайной величины. При непрерывности случайной величины

где f(x) – плотность вероятности,

F(x) – функция распределения случайной величины.

Кроме вышеприведенных оперируют следующими мерами положения:

1) среднее гармоническое;

2) среднее логарифмическое;

3) скользящее среднее;

4) накопленное среднее.

Но эти меры используются не очень часто.

2. Меры рассеяния.

Если меры положения характеризовали точки, вокруг которых происходило колебание значений случайных величин, то меры рассеяния характеризуют группировку самих значений колеблющейся величины x или x i

Подхарактеристика мер рассеяния:

1. Выборочное среднее абсолютное отклонение

– абсолютное отклонение наблюденного значения xi случайной величины от выборочного среднего.

2. Выборочная дисперсия S 2 ; она характеризует рассеяние или однородность случайной величины x i

Эта характеристика пользуется наибольшей популярностью: