Искусственный интеллект

Взгляды Колмогорова на теоремы Гёделя о неполноте перевернули всю мою жизнь, особенно учитывая догматическую веру в эти теоремы моих ближайших родственников, коллег, учеников и подавляющего большинства математиков и философов.

В нашей педагогической практике такая догматическая вера в теоремы Гёделя и следствия из них по существу навязывается всем учащимся; доказательства, весьма громоздкие и сложные, разбираются лишь на узкоспециальных занятиях с небольшим числом заинтересованных студентов, да и в основном, как я сейчас глубоко убежден, занятия эти проводятся фактически с целью не разобрать все возможные случаи (что малореально), а только усилить веру в результаты Гёделя и их обобщения.

Высказывания Колмогорова относительно теорем Гёделя были мало известны. Под руководством Колмогорова я работал с января 1980 по октябрь 1987 года, когда Андрей Николаевич заведовал кафедрой математической логики механико-математического факультета МГУ (я был сотрудником этой кафедры).

По поводу теорем Гёделя я спорил с Андреем Николаевичем, однако, следуя его рекомендациям, изучал различные теории, прежде всего теоретико-множественные.

В результате мною впервые были найдены доказательства непротиворечивости многих известных теорий — доказательство непротиворечивости каждой теории строится секвенциально по Генцену на основе интеллектуальной системы - неразрешимого алгоритмического (но не логического!) аппарата одного из комбинаторно полных исчислений Шейнфинкеля - Карри - Чёрча, представляющего бести-повым образом неограниченное теоретико-множественное свёртывание Кантора(1845-1918).

Многим такие доказательства кажутся (без предъявления серьезных математических или философских обоснований), особенно в силу их длиннот и использования исчислений (без учета их специфики), очевидно противоречащими теоремам Гёделя о неполноте.

Мои результаты после обсуждений А Н. Колмогоров представлял в печать - работы опубликованы в ДАН и других изданиях ([8-17]).

Андрей Николаевич подчеркивал значимость полученных результатов. Он не только отмечал при этом, что его редукция 1925 года (см. [18]) позволяет, используя теоретико-множественную общность, значительно упростить построения и доказательства, сделав их общепонятными и общедоступными, но и впервые обратил внимание на правила вывода теорий, два этажа (посылки и заключение) которых могут быть основой упрощений. Важно при этом выбрать среди всех логически эквивалентных выводимых формул подходящие аксиомы для каждой теории.

Только к концу XX века я понял, что А Н. Колмогоров был прав в своих сомнениях относительно роли теорем Гёделя о неполноте в основаниях современных наук.

В работах автора (см. [8-17] и предшествующие труды автора) все исследования ведутся на фрегевском пути. Однако полученные в них результаты находятся в полном соответствии с теоремами Гёделя о неполноте, поскольку предложенные автором системы и их метатеория основываются на неразрешимом бестиповом нелогическом аппарате теории алгоритмов (алгорифмов) в форме исчислений чистой комбинаторной логики Шейнфинкеля-Карри или А,-конверсии Чёрча. В данном случае теоремы Гёделя о неполноте для предложенных систем даже не формулируются (подробнее об этом сказано в [6], особенно см. гл. III). В [6] же впервые рассказано о действительном месте этих теорем Гёделя в основаниях современной науки при исследовании всех аксиоматических теорий первого порядка.

Таким образом, все известные теории первого порядка доказуемо непротиворечивы (см. [6, 7]) и достаточно богатые из них доказуемо неполны (см. теоремы Гёделя о неполноте). Тем самым Центральная проблема Гильберта не может быть решена на фрегевском пути формализации различных разделов современной науки.

В силу теорем Гёделя о неполноте некоторых аксиоматических теорий 1-го порядка и в силу уже упомянутых парадоксов типа парадокса Рассела, доказуемо полные и доказуемо непротиворечивые интеллектуальные системы (такие, например, как интеллектуальные системы компьютерных логик), в частности, реализующие программу Колмогорова по КМ, естественно строить в их основной логико-предикатной части не как всем известные аксиоматические формульные теории 1-го порядка с собственными не логическими аксиомами, а как вторые, логические, ярусы секвенциальных двухъярусных теорий, базирующихся на знаменитых результатах Кантора, Чёрча и Генцена в основаниях наук и введенных автором по публикациям с 1970 года. Основное внимание сосредоточим на КМ, естественно предполагая распространение результатов на любые интеллектуальные конструкции в их целостности. 114 114 Программа Колмогорова по основаниям классической теоретико-множественной математики Только Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) высказал принципиально новые идеи, приведшие к решению Центральной проблемы Гильберта. Программа Колмогорова по основаниям КМ состоит в том, что при построении исчисления, решающего Центральную проблему Гильберта, надо учитывать две компоненты КМ (классической теоретико-множественной математики) - вычислительную (алгоритмическую) и дедуктивную (логическую) и одновременно отражать без ограничений два канторовских принципа теории множеств - неограниченное свертывание и неограниченную логику, применением которых строятся все выводы КМ. Программа Колмогорова обусловлена его работой 1925 г. «О принципе Tertium non datur» [18, 19] и сформулирована Андреем Николаевичем автору в 1980-1987 гг. (см. статьи [20] «Вариант формализации канторовской теории множеств» (1999 г.), [21] «Решение проблемы Гильберта по Колмогорову» (2000 г.) и настоящую работу). Автор осознал существование и величие программы Колмогорова только к 1994 году, когда познакомился с анализом Константина

Алексеевича Рыбникова (1913-2004) в [22] широко известной программы 1666 года [23] Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716). Анализ в [22] проведен без ссылок на известную специфическую интерпретацию теорем Гёделя 1931 года о неполноте как ограничительных в рассматриваемой области знания.

На основе общности программ Лейбница и Колмогорова историко-методологический анализ ряда исследований, проведенных в XIX-XXI вв. от Д. Гильберта до наших дней (особенно школами: Гёттингенской - Гильберта и Московской - Колмогорова), показал:

- принципиальное отличие предложенных и опубликованных автором с 1970 г. секвенциальных исчислений, имеющих два яруса, от широко известных одноярусных Аристотелевских аксиоматических исчислений Гильбертовского типа (с ограничениями теоремами Гёделя о неполноте);

- необходимость изучения по Колмогорову канторовской («наивной») теории множеств с её двумя неограниченными принципами, на основе которых строятся все выводы единой КМ (без каких-либо ограничений).