Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга?

B: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.

C: Я рыцарь в том и только в том случае, если A и B однотипны.

Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?

109–112.Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть P — любое высказывание, а A — любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если A высказывает утверждение: «Если я рыцарь, то P», то он должен быть рыцарем, а высказывание P должно быть истинным! B это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.

1. Предположим, что A — рыцарь. Тогда высказывание «Если A — рыцарь, то P» должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, A — рыцарь, и верно, что если A — рыцарь, то P. Из этих двух фактов мы заключаем, что P должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что A — рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание P. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если A — рыцарь, то P. Но именно это и утверждал A! Следовательно, A должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если A — рыцарь, то P, то заключаем, что P должно быть истинно.

2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если A не рыцарь, то высказывание «Если A — рыцарь, то P» автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание P должно быть истинным.

Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109. Если в качестве P принято высказывание «В — рыцарь», то ясно, что A должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, B — рыцарь, и мы получаем ответ: A и B — оба рыцари.

В задаче 110 в качестве P выберем высказывание «А придется съесть свою шляпу». Мы видим, что A должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)

Ответ к задаче 111: A — рыцарь.

Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание «Если я рыцарь, то дважды два — пять» не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.

113. A должен быть рыцарем, а B — лжецом.

Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида «Если P, то я лжец». Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания. Значит, если высказывание «Я лжец» истинно, то полное высказывание «Если P, то я лжец». также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение «Если P, то я лжец», я должен быть рыцарем.

Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B — рыцарь, то A — лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является [2] Любое высказывание, из которого следует ложное высказывание, должно быть ложным, так как из истинного высказывания не может следовать ложное высказывание. В решении задачи 113 из высказывания «В — рыцарь» следует ложное высказывание «А — лжец». Значит, высказывание «В — рыцарь» должно быть ложным. Это еще один вариант доказательства от противного. . Следовательно, B — лжец.

114. A в действительности утверждает: «Не верно, что X виновен, а Y не виновен». Но это то же самое, как если бы A утверждал: «Либо X не виновен, либо Y виновен». Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.

115. Предположим, что A — рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B «Если A — рыцарь, то C — рыцарь» истинно. Но (по предположению) A — рыцарь. Следовательно, C — рыцарь (в предположении, что A — рыцарь).

Итак, мы доказали, что если A — рыцарь, то C — рыцарь [3] Мы сделали это, приняв в качестве посылки высказывание «А — рыцарь», из которого вывели заключение «С — рыцарь». В силу факта (1) об импликации мы заключаем, что если A — рыцарь, то C — рыцарь. . Именно это и утверждал B. Следовательно, B — рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B — рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A — рыцарь, то C — рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое — рыцари.

116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.

Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.

Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.

117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение «Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн» должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.

Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.

118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть P — высказывание «Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет». Нам известно:

1) Если P истинно, то я люблю Еву.

2) Если я люблю Еву, то P истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание P, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.