Иван Ефишов - Таинственные страницы. Занимательная криптография

Finis coronat opus – латинское изречение «конец – делу венец». Эта формула, принятая в семейной переписке Моцартов, считалась девизом их семьи. В качестве венца этюда приведем выдержки из письма [51], адресованного кузине Марии Анне Текле Моцарт в Аугсбург. В самом конце, прощаясь, Моцарт пишет: «Адье. От моего отца Папа и от моей сестры Цацы – всего мыслимого – вашим родителям от нас 3-х, – 2 мальчишек и 1 девчонки, – 12345678987654321 поклонов, а всем добрым друзьям от меня лично 624, от моего отца 100 и от моей сестры 150, итого 1774, а в общей сумме 12345678987656095 приветов». Как уже упоминалось в предисловии, Моцарт с детства любил арифметику, исписывал полы и стены цифрами с помощью мелка. Если вы подсчитали все перечисленные поименные поклоны друзьям, то их сумма будет равна 874, ровно на 900 меньше, чем упомянуто в письме! Что же это? Ошибка?!

Скорее всего, Моцарт допустил простую описку: не добавил еще один ноль к 100. Ведь он хотел написать «от моего отца 1000»; в этом случае и сумма всех именных поклонов, и конечная сумма приветов будет верна. В пользу такой версии можно привести два письма [52], адресованных отцу и которые композитор заканчивает в своей обычной манере: «Целую вам руки 1000 раз, а мою любимую сестру обнимаю от всего сердца, и остаюсь навеки ‹…› ваш послушнейший сын В. А. Моцарт». Возможно, Моцарт, когда писал своей кузине, подсчитывал свои приветы в голове, не глядя на бумагу (и не складывая их «в столбик»), то есть с арифметикой у него было все в порядке!

Предварим данный этюд рядом загадок. Попробуйте как можно скорее догадаться, кто этот юный принц, о котором речь в заголовке.

• Его именем названы кратер на Луне и потухший вулкан в Антарктиде.

• Филателистам известна 40-пфенниговая немецкая почтовая марка 1977 года с изображением комплексных чисел его имени, приуроченная к двухсотлетию со дня его рождения.

• На банкноте в десять марок ФРГ был его портрет, а на обратной стороне – триангуляция Гаусса (ну вот и проговорился).

Итак, карты раскрыты, речь идет об ученом, которого называют королем математики, Карле Фридрихе Гауссе (30 апреля 1777–1855). Дата рождения указана столь подробно неслучайно, но об этом чуть позже.

В октябре 1795 года будущий король математики (а пока лишь ее юный принц) К. Ф. Гаусс поступает в Геттингенский университет, не решив еще окончательно, что будет изучать – математику или филологию.

30 марта 1796 года студент-первокурсник заводит математический дневник, который ведет на языке науки – латыни. Только на третьем курсе Гаусс сделал окончательный выбор в пользу математики.

Большинство записей состоят из краткой, а иногда и загадочной заметки о полученном результате.

Самая первая запись гласит: Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitus eiusdem geometrica in septemdecim partes etc. Гаусс сделал отметку о возможности построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Над этой задачей математики безуспешно бились более двух с половиной тысяч лет.

При жизни ученого широко применялись шифры простой замены, которые легко взламываются благодаря частотному анализу символов текста. К. Ф. Гаусс предложил использовать омофоны {40}. Например, букве А можно поставить в соответствие несколько других символов, например 8, 12 и 71. Если число символов-заменителей одной буквы взять пропорционально частоте появления этой буквы в языке, то подсчет букв в тексте становится бессмысленным. К. Ф. Гаусс был уверен, что с использованием омофонов он изобрел шифр, который невозможно взломать. Увы, он, как и многие другие изобретатели «невзламываемых» шифров, ошибался. Отметим правды ради, что еще Симеоне де Крема [53]в 1401 году {41}задолго до Гаусса впервые использовал омофоны для обеспечения равномерной частоты букв, но только гласных.

Последняя страница первого дневника К. Ф. Гаусса (еще раз напомним дату его рождения – 30 апреля 1777 года) содержит кодированные записи. Знаменательные события своей жизни ученый кодировал номерами дней, отсчитываемых от дня собственного рождения до соответствующей даты. Защитив 16 июля в 1799 году ученую степень доктора, Гаусс закодировал эту дату числом 8113. Данная запись «8113; 99.VII.16 D.» может послужить ключом к декодированию всех других чисел в дневнике, которые записаны только кодом, без дешифровки их даты.

Самим ранним знаменательным событием, отмеченным в личных записках Гаусса, был день, когда пятнадцатилетний Гаусс занялся проблемой распределения простых чисел. Это состоялось на 5343-й день после его рождения, и дата вошла в дневник под кодом 5343 (15 декабря 1791 года).

Попробуйте наперегонки с кем-нибудь декодировать следующие знаменательные числа с последней страницы записок Гаусса:

6911 и 7366.

Маленькая подсказка: можно облегчить себе вычисления, считая не со дня рождения, как делал ученый. Так, число 6911 близко к 5343, декодированному нами выше как 15 декабря 1791 года, а число 7366 еще ближе к 8113, 16 июля 1799 года.

Разберемся с первой датой. Решение для второй приводить не будем: постарайтесь все же определить эту дату своими силами. Итак, 5343 – это 15 декабря 1791 года, до нового года целых 16 дней. В 1793, 1794 и 1795 годах было по 365 дней. Високосным был 1792 год, в нем 366 дней. Получаем: 5343 + 16 + 3 × 365 + 366 = 6820, и еще остается 91 день високосного 1796 года. Аккуратно подсчитываем: январь – 31 день, февраль – 29, март – 31. Итого ровно 91 день. То есть число 6911 декодируется как 31 марта 1796 года.

Так чем же примечательны эти даты из математического дневника?

6911 – 31 марта 1796 года. В этот день ученый сделал запись о возможности построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Но если вы посмотрите на первую страницу дневника [54], то увидите, что эта запись помечена 30 марта 1796 года! Интересно, что здесь при декодировании числа 6911 ошибся сам принц математики. Ошибка в один день.

7336 – 30 мая 1797 года. Под этим числом Гаусс записал теорему о распределении простых чисел, которая дает хорошее представление о том, как простые числа распределены среди целых чисел.

Приведем еще одну знаменательную дату из истории, уже без шифра. Когда в 1807 году французская армия под командованием Наполеона захватила родной город Гаусса Брауншвейг, император лично отдал команду пощадить город, так как «там живет величайший математик всех времен». Ведь Наполеон, заметим, был избран членом французской Академии наук в 1797 году за заслуги перед математикой.

Письмо Древнего Египта – иероглифика – было с течением времени забыто. Даже само слово «иероглифика» не египетского, а греческого происхождения и означает «священные вырезанные знаки». Сами египтяне называли свое письмо «маду нетчер» («слова бога»). После завоевания Египта (332 год до н. э.) Александром Македонским в стране получил распространение греческий алфавит, и иероглифы были обречены на вымирание.