Олег Иванов - Нематематика. Для начинающих продюсеров

МНОЖЕСТВО

В этой главе рассматривается одно из ключевых математических понятий. Под множеством понимается некоторая, вполне определенная совокупность объектов. Обсуждены основные операции, которые можно проводить с множествами, рассмотрено понятие алгебры множеств. Четвертая часть темы посвящена нечетким множествам, которые оказались подходящей моделью для большого числа практических ситуаций.

Множеством называется некоторая вполне определенная совокупность объектов. Объекты, которые составляют множество, называются его элементами. Некоторый объект может принадлежать или не принадлежать данному множеству. Множество можно задать, например, перечислив все его элементы. Еще вариант – назвать некоторое характеристическое свойство, которому удовлетворяют все элементы данного множества и только они. Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, а конечное – из конечного. Подмножество данного множества включает некоторую часть его элементов. Очевидно, что множество является подмножеством для себя самого. Пустое множество не содержит ни одного элемента. Принято рассматривать также универсальное множество – оно включает элементы всех множеств, которые рассматриваются в конкретной ситуации. Универсальное множество это все, а пустое – ничего. Дополнение к некоторому множеству включает только те элементы, которые этому множеству не принадлежат. Множество и его дополнение вместе образуют универсальное множество. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Что будет если объединить два множества? Это зависит от того, каким образом мы определим операцию объединения (или сложения) для двух множеств.

Под объединением двух множеств мы будем понимать новое множество, состоящее из элементов первого или второго множества. Союз «или» означает, что в объединение попадают также те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно, но в итоговой сумме эти каждый из этих элементов будет представлен один раз.

Пересечение двух множеств представляет собой третье множество, состоящее из элементов, которые являются одновременно элементами и первого, и второго множества. Пересечение может оказаться пустым, если множества не пересекаются. Операцию пересечения двух множеств называют еще их произведением.

Разность двух множеств представляет собой множество, которое содержит элементы первого множества и не включает элементы второго. Мы вычитаем, тем самым, второе множество из первого и получаем новое множество, называемое их разностью. Можно рассмотреть также еще одну операцию – дополнения одного множества по отношению к другому. В дополнение попадают те элементы второго множества, которые не являются элементами первого.

Операции над множествами для наглядности принято изображать при помощи диаграммы Эйлера. Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Позже эту идею развил английский логик Джон Венн.

Между двумя множествами можно устанавливать соответствие, когда всем или некоторым элементам первого множества ставятся в соответствие какие-то элементы второго множества. При этом одному элементу первого множества, вообще говоря, может соответствовать один или несколько элементов второго, или не соответствовать ни один из элементов.

Взаимно-однозначное соответствие между множествами устанавливается в том случае, если каждому элементу первого множества устанавливается в соответствие один и только один элемент второго и наоборот. Если между между двумя конечными множествами установлено взаимно-однозначное соответствие, то это означает, что они состоят из одинакового количества элементов.

Определив для множеств операции сложения, вычитания и умножения мы можем применять их к любому числу множеств и благодаря этому получаем новый математический объект, состоящий из всех множеств, рассматриваемых нами применительно к определенной ситуации, и действий, которые мы над ними можем совершать. Этот новый объект математики называют алгеброй, подобно алгебре чисел существует также алгебра множеств. Мы не будем останавливаться на точном математическом определении этого объекта, скажем только, что в алгебре необходимо, чтобы введенные применительно к множествам операции обладали некоторыми, совсем не сложными свойствами.

Свойство коммутативности означает, что если к первому множеству добавить второе, то результат будет такой же, как если бы ко второму множеству добавили первое. Аналогично, это свойство выполняется и для произведения двух множеств.

Свойство ассоциативности проявляется в том, что если к первому множеству добавить второе и к сумме добавить третье множество, то мы в итоге получим то же самое, как если бы мы ко второму множеству добавили третье и только потом к сумме добавили первое множество. Фактически это означает, что можно менять порядок действий со множествами. Свойство ассоциативности действует и для произведения трех множеств. Поэтому сумму и произведение множеств можно записывать без скобок.

Свойство дистрибутивности для действий со множествами проявляется в том, что если первое множество умножить на сумму второго и третьего множеств, то в итоге мы получим то же самое, как если бы первое множество мы умножили по очереди на второе и на третье и затем два полученных произведения сложили между собой. Свойство дистрибутивности означает, что производя операции сложения и умножения между множествами можно раскрывать скобки.

Для операций над множествами выполняются не все свойства, которые характерны для чисел. Например, если множество умножить на самого себя, то получим то же самое множество. Если к некоторому множеству прибавить его же, то мы получим вовсе не удвоенное, а всего лишь исходное множество. С числами результаты подобных действий выглядели бы иначе.

Нечеткое множество является расширением понятия множества. Если для обычного множества элементы могут принадлежать или не принадлежать ему, то для нечеткого элементы могут принадлежать ему лишь в некоторой степени, скажем на 20% или на 70% – в любой мере от 0 до 100 процентов, или от 0 до 1, кому как удобнее. Нечеткие множества Понятие нечеткого множества было введено Лотфи Заде в 1965 году в его статье «Fuzzy Sets».