Анатолий Овчинников - Рассуждения об основах математики

Эта книга есть логическое продолжение рассуждений о связи математики и опыта. Начало этим рассуждениям было положено в недавно вышедшей в свет книге [1], в которой сейчас для нас наиболее важны пятая и шестая её главы. Затем появились ещё две важные по этой теме статьи [2], [3]. Все изложенное в этой книге и в этих статьях, мы будем считать известным, а потому настоятельно рекомендуется сначала ознакомиться с их содержанием. Сейчас становится целесообразным объединить всё, имеющее отношение к основам математики в одну книгу, что здесь и сделано. Заметим, что основания физики и основания математики на деле не различаются; в их основе лежат экспериментальные факты. Но физика использует математический аппарат, а поэтому различие между физикой и математикой (в их основаниях) становится практически неразличимым. В такой ситуации трудно различить: где начинается (и кончается) физика, а где начинается математика, и наоборот. Вот почему мы полагаем, что и книгу [1] и данную здесь книгу нужно рассматривать как единое целое.

Мы продолжаем здесь опровергать некоторые устойчивые заблуждения и мифы, имеющие давнее происхождение. Многие из нас интуитивно понимают, что с неевклидовыми геометриями и теорией относительности «что-то не ладно». В этой книге мы покажем, что это «что-то не ладно» возникает из-за той идеалистической позиции, которую занимают математики и физики-теоретики при изучении законов природы. Мы здесь будем говорить лишь о традиционной геометрии и математике, то есть о тех, с которых обычно начинается их изучение в средней школе. В частности, в них имеются понятия геометрической фигуры, числа, имеются знаки: <, =, >. Имеются также простейшие операции: сложение, умножение, вычитание, деление. Однако читатель, ознакомившись с изложенным здесь, легко увидит, что все сказанное в книге будет справедливо и для других разделов математики.

Кратко напомним самое важное для нас здесь из [1].

а) геометрия начинается с экспериментальных фактов, называемых иначе построениями

б) определения и аксиомы геометрии и математики есть рациональное осмысление экспериментальных фактов (построений)

в) критерием существования геометрической фигуры в реальном пространстве является аксиома существования

г) в реальном пространстве существует только одна геометрия это – евклидова геометрия.

Добавим ещё здесь, что в книге часто будут напоминаться банальные истины, но они будут чередоваться с тем, о чем мы ещё не думали. Но так бывает всегда, когда речь заходит об основах науки. Банальные истины начинают забываться в процессе длительного обучения, а потому их приходится напоминать.

Мы не будем здесь давать строгое определение понятию рационального осмысления экспериментальных фактов (оно вряд ли возможно). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми примерами из науки рационального и нерационального (иррационального) осмысления экспериментальных фактов.

Пример 1. Геометрия. Геометр строит фигуры: точки, прямые, окружности и так далее. Существование всех этих реальных фигур есть экспериментальный факт. Как осмысливает эти экспериментальные факты геометр? Он говорит: «Я допущу, что в реальном пространстве существуют не только те реальные фигуры, которые я построил, но и идеальные фигуры, которые я буду строить, имея также для этого идеальные инструменты. А это значит, что могут быть построены и существуют идеальные фигуры (идеальная точка, идеальная прямая, идеальная окружность и так далее)». Это – рациональное осмысление экспериментальных фактов. В самом деле. Существование идеальных фигур в реальном пространстве нисколько не меняет ни свойств самого пространства, ни свойств самих реальных фигур. Реальные и идеальные фигуры существуют в одном (общем для них) реальном пространстве, нисколько не мешая друг другу. А вот изучать свойства фигур целесообразно начинать со свойств идеальных фигур. После того, как это будет сделано, достаточно сравнить свойства реальных фигур со свойствами идеальных фигур. И что же мы увидим? Мы увидим, что свойства реальных фигур тем меньше отличаются от свойств идеальных фигур, чем точнее построена эта реальная фигура. И отличие свойств реальной фигуры от идеальной всегда может быть выражено с известной степенью точности. Во всех этих рассуждениях особо следует подчеркнуть важность материалистического подхода к изучению законов реального пространства. Началом всему являются экспериментальные факты. Не было бы этих фактов, нечего было бы и осмысливать.

Пример 2. Физика. Кинематика точки. То, что тела могут двигаться и при движении оставляют после себя те места, которые они уже покинули, это – экспериментальный факт. Как осмысливает этот экспериментальный факт физик? Он здесь подражает геометру. Он говорит: «Я допущу, что в реальном пространстве существуют материальные точки (такие же как у геометра, но наделенные массой) и траектории этих точек такие же как у геометра (идеальные линии). И посмотрю, что из этого получится». Это – рациональное осмысление экспериментальных фактов. В самом деле. Существование материальных точек и их идеальных траекторий в реальном пространстве нисколько не изменит законов природы. И точно так же, как в геометрии, реальные тела с их реальными траекториями нисколько не мешают существовать материальным точкам с их идеальными траекториями. А вот изучать свойства движущихся тел целесообразно начинать с кинематики материальной точки. Потому, что это гораздо проще. Аналогия между осмыслением экспериментальных фактов у геометра и физика здесь усматривается предельно ясно.

Пример 3. Физика. Идеальный газ. То, что газ есть собрание хаотично двигающихся молекул (газа) является экспериментальным фактом. Как осмысливает этот экспериментальный факт физик? Он говорит: «Я допущу, что существует идеальный газ, в котором молекулы заменяются материальными точками. Эти материальные точки замечают друг друга только при столкновениях, и при таких столкновениях ведут себя, как упругие шарики». Это – рациональное осмысление экспериментального факта. В самом деле. То, что в одном сосуде – реальный газ, а в другом сосуде – идеальный газ вовсе не влияет на законы природы. Законы природы будут действовать одинаково на оба этих газа. А вот изучать свойства газа целесообразно начинать со свойств идеального газа. Затем свойства реального газа всегда можно сравнить со свойствами идеального газа, и объяснить по каким причинам они различаются. Здесь также видна аналогия между осмыслением экспериментальных фактов геометром и физиком.