Александр Ивин - Логика

Многие утверждения не являются ни истинными, ни ложными, т.е. лежат вне «категории истины». Оценки, нормы, советы, декларации, клятвы, обещания и т.п. не описывают каких-то ситуаций, а указывают, какими они должны быть, в каком направлении их нужно преобразовать. От описаний требуется, чтобы они соответствовали действительности и являлись истинными. Удачный совет, приказ и т.п. характеризуется как эффективный или целесообразный, но не как истинный. Высказывание «Вода кипит» истинно, если вода действительно кипит; команда же «Вскипятите воду!» может быть целесообразной, но не имеет отношения к истине. Очевидно, что оперируя выражениями, не имеющими истинностного значения, можно и нужно быть и логичным и доказательным. Встаёт, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства, определяемого в терминах истины. Им должны охватываться не только описания, но и утверждения типа оценок или норм. Задача переопределения доказательства пока не решена ни логикой оценок ни деонтической (нормативной) логикой . Это делает понятие доказательства не вполне ясным по своему смыслу.

Не существует, далее, единого понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования».

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. Долгое время считалось, что оно представляет собой ясный и бесспорный процесс. В нашем веке отношение к математическому доказательству изменилось. Сами математики разбились на группировки, каждая из которых придерживается своего истолкования доказательства. Причиной этого послужило, прежде всего изменение представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости. Полемика по поводу математического доказательства показала, что нет критериев доказательства, не зависящих ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но даже в математике доказательство не является абсолютным и окончательным.

Философ А.Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьёз, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначе его части лишатся связи, и оно может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своём месте. Как раз такого целостного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру.

В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает; Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением; к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные .

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса .

Например, нужно доказать, что кометы подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространства. Очевидно, также, что кометы являются телами. Отметив это, строим умозаключение:

Все космические тела подпадают под действие законов небесной механики.

Кометы – космические тела.

Следовательно, кометы подчиняются данным законам.

Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

Ещё один пример: нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идёт как бы окольным путём. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключённого третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного .

Допустим нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Пятиугольник не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Пятиугольник есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у пятиугольника, поскольку он есть окружность, нет углов, и у пятиугольника, как такового, есть углы. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.