Яков Перельман - Занимательная астрономия

При дальнейшем приближении планеты к Солнцу до расстояния 700, 600, 500 тысяч км сила притяжения соответственно выразится стрелками в 2, в 2,8 и в 4 единицы длины.

Можно представить себе, что те же стрелки изображают не только притягивающие силы, но и перемещения, которые тело совершает под влиянием этих сил за единицу времени (в этом случае перемещения пропорциональны ускорениям, а стало быть, и силам). В дальнейших наших построениях мы будем пользоваться этим чертежом как готовым масштабом перемещений планеты.

Приступим теперь к построению пути планеты, обращающейся вокруг Солнца. Пусть в некоторый момент планета той же массы, что и сейчас рассмотренная, двигаясь в направлении WK со скоростью в 2 единицы длины, очутилась в точке К, находящейся на расстоянии 800 000 км от Солнца (рис. 84). На этом расстоянии от Солнца его притяжение будет действовать на планету с такой силой, что заставит ее в единицу времени переместиться по направлению к Солнцу на 1,6 единицы длины; за тот же промежуток времени планета продвинется в первоначальном направлении WK на 2 единицы. В результате она переместится по диагонали КР параллелограмма, построенного на перемещениях К1 и К2; эта диагональ равна 3 единицам длины (рис. 84).

Рис. 84. Как Солнце S искривляет путь планеты WKPR

Очутившись в точке Р, планета стремится двигаться дальше по направлению КР со скоростью 3 единиц. Но в то же время под действием притяжения Солнца на расстоянии SP =5,8 она должна в направлении SP пройти путь Р4 = 3. В результате она пройдет диагональ PR параллелограмма.

Дальше вести построение на том же чертеже мы не станем: масштаб слишком крупен. Понятно, что чем масштаб мельче, тем большую часть пути планеты удастся нам поместить на чертеже и тем меньше будет резкость углов нарушать сходство нашей схемы с истинным путем планеты. На рис. 85 дана та же картина в более мелком масштабе для воображаемого случая встречи Солнца с каким-нибудь небесным телом, по массе подобным вышеупомянутой планете. Здесь ясно видно, как Солнце отклоняет планету-пришельца от ее первоначального пути и заставляет следовать по кривой P—I–II–III–IV–V– VI. Углы построенного пути здесь не так резки, и отдельные положения планеты нетрудно уже соединить плавной кривой линией.

Что же это за кривая? Ответить на этот вопрос поможет нам геометрия. Наложите на чертеж (рис. 85) листок прозрачной бумаги и перенесите на нее шесть произвольно взятых точек планетного пути. Выбранные шесть точек (рис. 86) перенумеруйте в любом порядке и соедините между собой в той же последовательности прямыми отрезками. Вы получите вписанную в путь планеты шестиугольную фигуру частью с перекрещивающимися сторонами. Продолжите теперь прямую 1–2 до пересечения с линией 4–5 в точке I Таким же образом получите точку II на пересечении прямых 2–3 и 5–6, затем точку III – на пересечении 3–4 и 1–6. Если исследуемая нами кривая есть одно из так называемых «конических сечений», т. е. эллипс, парабола или гипербола, то три точки I , II и III должны оказаться на одной прямой линии. Такова геометрическая теорема (не из числа тех, что проходятся в средней школе), носящая название «шестиугольника Паскаля».

Рис. 85. Солнце отклоняет планету Р от ее первоначального прямого пути, заставляя ее описывать кривую линию

Тщательно выполненный чертеж всегда даст указанные точки пересечения на одной прямой. Это доказывает, что исследуемая кривая есть либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. К рис. 85 первое, очевидно, не подходит (кривая незамкнутая), значит, планета двигалась здесь по параболе или гиперболе. Соотношение первоначальной скорости и силы притяжения таково, что Солнце лишь отклоняет планету от прямолинейного пути, но не в состоянии заставить ее обращаться вокруг себя, «захватить» ее, как говорят астрономы.

Рис. 86. Геометрическое доказательство, что планеты движутся вокруг Солнца по коническим сечениям (подробности в тексте)

Постараемся теперь подобным же образом уяснить второй закон движения планет – так называемый закон площадей. Рассмотрите внимательно рис. 21, (стр. 59). Двенадцать намеченных на ней точек делят ее на 12 участков; они не равны по длине, но нам известно, что они проходятся планетой в одинаковое время. Соединив точки 7, 2, J и т. д. с Солнцем, получите 12 фигур, которые приближенно можно представить треугольниками, если соединить точки хордами. Измерив их основания и высоты, вычислите их площади. Вы убедитесь, что все треугольники имеют одинаковую площадь. Другими словами, вы приходите ко второму закону Кеплера:

Радиусы-векторы планетных орбит описывают в равные промежутки времени равные площади.

Итак, циркуль до известной степени помогает постичь первые два закона планетных движений. Чтобы уяснить себе третий закон, сменим циркуль на перо и проделаем несколько численных упражнений.

Задумывались ли вы над тем, что произошло бы с нашей Землей, если бы, встретив препятствие, она внезапно была остановлена в своем беге вокруг Солнца? Прежде всего, конечно, тот огромный запас энергии, которым наделена наша планета как движущееся тело, превратится в теплоту и нагреет земной шар. Земля мчится по орбите в десятки раз быстрее пули, и нетрудно вычислить, что переход энергии ее движения в теплоту породит чудовищный жар, который мгновенно превратит наш мир в исполинское облако раскаленных газов…

Но если бы даже Земля при внезапной остановке избегла этой участи, она все-таки обречена была бы на огненную гибель: увлекаемая Солнцем, она устремилась бы к нему с возрастающей скоростью и погибла бы в его пламенных объятиях.

Это роковое падение началось бы медленно, с черепашьей скоростью: в первую секунду Земля приблизилась бы к Солнцу только на 3 мм. Но с каждой секундой скорость ее движения прогрессивно возрастала бы, достигнув в последнюю секунду 600 км. С этой невообразимой скоростью земной шар обрушился бы на раскаленную поверхность Солнца.

Интересно вычислить, сколько времени длился бы этот гибельный перелет, долго ли продолжалась бы агония нашего обреченного мира. Сделать этот расчет поможет нам третий закон Кеплера, который распространяется на движение не только планет, но и комет и всех вообще небесных тел, движущихся в мировом пространстве под действием центральной силы тяготения. Закон этот связывает время обращения планеты (ее «год») с ее расстоянием от Солнца и гласит: