Денис Шевчук - Менеджмент: конспект лекций

Прежде чем обсуждать непосредственно влияние горизонта планирования на принимаемые менеджером решения, рассмотрим некоторые используемые при принятии решений оптимизационные модели (методам оптимизации посвящена глава 3.2).

Характеризация моделей с дисконтированием.Пусть для простоты изложения время принимает дискретные значения. Тогда развитие экономической ситуации описывается последовательностью

где переменные x j лежат в некотором пространстве Х , возможно, достаточно сложной природы. Надо отметить также, что положение в следующий момент не может быть произвольным, оно связано с положением в предыдущий момент. Проще всего принять, что существует некоторое множество К такое, что

Результат экономической деятельности за j – й период описывается величиной

Зависимость не только от начального и конечного положения, но и от номера периода объясняется тем, что через номер периода осуществляется связь с общей экономической ситуацией. Желая максимизировать суммарные результаты экономической деятельности, приходим к постановке стандартной задаче динамического программирования:

Таким образом, необходимо выбрать план

удовлетворяющий приведенным ограничениям, на котором достигает максимума функционал F m . Естественно, предполагается, что множество возможных переходов К таково, что область определения функционала F m не пуста. При обычных математических предположениях максимум достигается.

Как известно, задача (1) часто возникает во многих прикладных экономических и эконометрических областях, в макроэкономике (подробнее см. Шевчук Д.А., Шевчук В.А. Макроэкономика: Конспект лекций. – М.: Высшее образование, 2006), в логистике (управлении запасами).

Широко предлагаются, исследуются и применяются модели, приводящие к следующему частному случаю задачи (1):

Это – модели с дисконтированием (как известно, α – дисконт—фактор). Естественно попытаться выяснить, какими «внутренними» свойствами выделяются задачи типа (2) из всех задач типа (1). В частности, почему такой большой популярностью пользуется характеристика инвестиционного проекта NPV (Net Present Value – чистая текущая стоимость), относящаяся к характеристикам дисконтированного типа и подробно рассматриваемая ниже (глава 2.3).

Представляет интерес изучение и сравнение между собой планов возможного экономического поведения на k шагов

и

(Естественно, предполагаем, что все пары соседних элементов входят в множество К ). Естественно сравнение проводить с помощью описывающих результаты экономической деятельности функций, участвующих в задачах (1) и (2). Именно, будем говорить, что план Х 1 лучше плана Х 2 при реализации с момента i , если

Будем писать Х 1 R(i)Х 2 , если выполнено неравенство (3), где R(i) – бинарное отношение на множестве планов, задающее упорядочение планов отношением «лучше».

Ясно, что упорядоченность планов на k шагов, определяемая с помощью бинарного отношения R(i), может зависеть от i , т. е. «хорошесть» плана зависит от того, с какого момента i он начинает осуществляться. С точки зрения реальной экономики это вполне понятно. Например, планы действий, вполне рациональные для периода стабильного развития, никуда не годятся в период гиперинфляции. И наоборот, приемлемые в период гиперинфляции операции не принесут эффекта в стабильной обстановке.

Однако, как легко видеть, в моделях с дисконтированием (2) все упорядочения R(i) совпадают , i = 1,2, …, m—k. Оказывается – это и есть основной теоретический результат настоящего подпункта – верно и обратное: если упорядочения совпадают, то мы имеем дело с задачей (2) – с задачей с дисконтированием, причем достаточно совпадения только при k =1,2. Сформулируем более подробно предположения об устойчивости упорядочения планов.

(I). Пусть

Верно одно из двух: либо

для всех

либо

для всех

(II). Пусть

Верно одно из двух: либо

для всех

либо

для всех

Как впервые подробно показано в работе [4], при некоторых внутриматематических условиях регулярности из условий устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) следует существование констант

и

таких, что

Поскольку прибавление константы не меняет точки, в которой функция достигает максимума, то последнее соотношение означает, что условия устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) характеризуют (другими словами, однозначно выделяют) модели с дисконтированием среди всех моделей динамического программирования.

Математические условия, при которых доказывалась теорема о характеризации моделей с дисконтированием, постепенно ослаблялись на протяжении 1970–х годов, однако на экономическую сторону дела эти внутриматематические усовершенствования не влияли.

Асимптотически оптимальные планы.Рассмотрим модель (2) с

т. е. модель без дисконтирования

При естественных математических предположениях, на которых не будем останавливаться, при каждом m существует оптимальный план

при котором достигает максимума оптимизируемая функция. Поскольку выбор горизонта планирования нельзя рационально обосновать, хотелось бы построить план действий, близкий к оптимальному при различных горизонтах планирования. Это значит, что целью является построение бесконечной последовательности

такой, что ее начальный отрезок длины m, т. е.

, дает примерно такое же значение оптимизируемого функционала, как и значение для оптимального плана

Бесконечную последовательность

назовем асимптотически оптимальным планом.

Выясним, можно ли использовать для построения асимптотически оптимального плана непосредственно оптимальный план. Зафиксируем k и рассмотрим последовательность

Нетрудно построить примеры, показывающие, что, во—первых, элементы в этой последовательности будут меняться; во—вторых, они могут не иметь пределов. Следовательно, оптимальные планы могут вести себя крайне нерегулярно, а потому в таких случаях их нельзя использовать для построения асимптотически оптимальных планов.

Тем не менее можно доказать, что асимптотически оптимальные планы существуют, т. е. можно указать такие бесконечные последовательности

, что

С помощью такого подхода решается проблема горизонта планирования – надо использовать асимптотически оптимальные планы, не зависящие от горизонта планирования. Интересно, что оптимальная траектория движения состоит из трех участков – начального, конечного и основного, а основной участок – это движение по магистрали. Полная аналогия с движением автотранспорта: чтобы попасть куда—либо, нужно сначала выехать на магистраль (шоссе), подъехать по хорошей дороге возможно ближе к цели, потом преодолеть заключительный участок.

1.4.3. Некоторые методы принятия решений

Читать дальше