Денис Шевчук - Менеджмент: конспект лекций

Наконец, рассмотрим последний элемент четверки – условия применимости. Он – полностью внутриматематический. С точки зрения математика замена условия (кусочной) дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности может представляться существенным научным достижением, в то время как прикладник оценить это достижение не сможет. Для него, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции мало отличаются от (кусочно) дифференцируемых. Точнее, они одинаково хорошо (или одинаково плохо) могут быть использованы для описания реальной действительности.

Методологический анализ – первый этап моделирования процессов управления, да и вообще любого исследования. Он определяет исходные постановки для теоретической проработки, а потому во многом и успех всего исследования. Анализ динамики развития методов моделирования позволяет выделить наиболее перспективные методы. В частности, при вероятностно—статистическом моделировании наиболее перспективными оказались методы нечисловой статистики.

3.5.4. Модель управления обучением

В качестве примера конкретной модели процесса управления рассмотрим модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений.

Любое знание состоит частично из «информации» («чистое знание») и частично из «умения» («знаю как»). Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, в конечном счете, умение – это способность методически работать [13, с.308].

Пусть x ( t ) – объем сведений, накопленных учащимся к моменту времени t («чистое знание»), y ( t ) – объем накопленных умений: умений рассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале; u ( t ) – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени ( t; t + dt ).

Естественно считать, что увеличение x ( t + dt ) – x ( t ) объема знаний учащегося пропорционально потраченному на это времени u ( t ) dt и накопленным умениям y ( t ). Следовательно,

где коэффициент k 1 > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося.

Увеличение знаний за то же время пропорционально потраченному на это времени (1 – u ( t )) dt , имеющимся умениям y ( t ) и знаниям x ( t ). Следовательно,

Коэффициент k 2 > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (1) – (2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной.

Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом t значение функции u ( t ) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.

1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний x 1 и умений y 1? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости ( x 0; y 0) в точку ( x 1; y 1)?

2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т. е. выйти на прямую x = x 1?

Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для второй задачи и двойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле [14]).

С помощью замены переменных z = k 2 x, w = k 1 k 2 y перейдем от системы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу к другим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося).

Решения задач 1 и 2, т. е. наилучший вид управления u (t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина. В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным ( u = 1) и вертикальным ( u = 0) прямым, либо по особому решению – параболе w = z 2 ( u = 1/3). При z02>w0 движение начинается по вертикальной прямой, при z02z 2 > w } и { z 2 < w } проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.

Используя теорему о регулярном синтезе, можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на «магистраль» – добраться до параболы w = z 2 по вертикальной ( u = 0) или горизонтальной ( u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали ( u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае w0u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали ( u = 1/3) от точки (z0; z02) до точки

В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих из начальной точки ( z 0; w 0) в точки луча

выбирается траектория, требующая минимального времени. При

Полученное для основного участка траектории оптимального обучения значение u = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах).

При движении по магистрали, т. е. в течение основного периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов k 1 и k 2. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения ( x 0; y 0) и индивидуальных коэффициентов k 1 и k 2.