Лиза Рэндалл - Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.

Русский математик Николай Иванович Лобачевский также развивал неевклидову геометрию, но когда он послал свою работу Гауссу, ему пришлось испытать разочарование, узнав, что старый математик за пятьдесят лет до этого пришел к тем же идеям. Однако ни Лобачевский, ни кто-либо другой не знали о результатах Гаусса, которые немецкий ученый скрыл из опасения, что коллеги подвергнут его осмеянию.

Гауссу не следовало беспокоиться. Очевидно, что пятый постулат не всегда верен, так как все мы знаем альтернативные возможности. Например, линии долготы встречаются на Северном полюсе и на Южном полюсе, даже несмотря на то, что они параллельны на экваторе. Примером неевклидовой геометрии является геометрия на сфере. Если бы древние народы писали на сферах, а не на табличках, этот пример был бы для них совершенно очевиден.

Однако существует много примеров неевклидовых геометрий, которые в противоположность сфере не могут быть физически реализованы в трехмерном мире. Первые неевклидовы геометрии Гаусса, Лобачевского и венгерского математика Яноша Больяи [44] Янош Больяи был гением, но хотя его отец, Фаркаш Больяи, хотел, чтобы сын стал математиком, Янош был беден и пошел в армию, а не в академию. Окружающие с самого начала препятствовали работе Яноша по неевклидовой геометрии, и он в конце концов опубликовал ее только потому, что отец настаивал на включении этой работы в книгу, которую он писал. Фар-каш, который был другом Гаусса, послал ему написанное Яношем дополнение. И вновь Яноша постигло разочарование. Хотя Гаусс отметил талант Яноша Больяи, он всего лишь написал: «Хвалить эту работу — значит во многом хвалить себя самого. Дело в том, что все содержание работы… почти полностью совпадает с моими собственными размышлениями, занимавшими мой мозг последние тридцать или тридцать пять лет» (письмо Гаусса к Фаркашу Больяи, 1832). Так что математическая карьера Яноша была еще раз разрушена. имели дело с такими не имеющими наглядного образа теориями, поэтому неудивительно, что для их открытия понадобилось столько времени.

Несколько примеров показывают, что делает искривленные геометрии отличными от плоской геометрии данной страницы. На рис. 38 показаны три двумерные поверхности. Первая, поверхность сферы, обладает постоянной положительной кривизной. Вторая, кусок плоскости, имеет нулевую кривизну. Третья, гиперболический параболоид, обладает постоянной отрицательной кривизной. Примерами поверхностей с отрицательной кривизной являются лошадиное седло, местность между двумя горными вершинами и картофельные чипсы «Прингле».

Существует много безошибочных показателей, с помощью которых можно узнать, каким из трех возможных типов кривизны обладает данное геометрическое пространство. Например, на каждой из трех поверхностей можно нарисовать треугольник. На плоской поверхности сумма углов треугольника всегда равна ровно 180°. Но что можно сказать о треугольнике на поверхности сферы, одна вершина которого находится на Северном полюсе, а две остальные — на экваторе, на четверти расстояния вдоль экватора друг от друга? Каждый из углов этого треугольника равен прямому углу 90°. Поэтому сумма углов треугольника равна 270°. Такого никогда не может быть на плоской поверхности, но на поверхности с положительной кривизной сумма углов треугольника может превышать 180°, так как сама поверхность выпятилась наружу.

Аналогично, сумма углов треугольника, нарисованного на гиперболическом параболоиде, всегда меньше 180°, что отражает отрицательность кривизны этой поверхности. Увидеть это несколько сложнее. Нарисуйте две вершины вблизи вершины седла и одну внизу, в той части гиперболического параболоида, где должна находиться ваша нога, когда вы сидите на лошади. Такой угол меньше того, который получился бы, если бы поверхность была плоской. Сумма углов оказывается меньше 180°.

Как только было установлено, что неевклидовы геометрии внутренне непротиворечивы, т. е. не приводят к парадоксам и противоречиям, немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман развил богатую математическую теорию для их описания. Кусок бумаги нельзя свернуть в сферу, но можно свернуть в цилиндр. Вы не можете разгладить седло без разрывов или налезания частей друг на друга. Основываясь на работе Гаусса, Риман создал математический формализм, включающий подобные факты. В 1854 году он нашел общее решение задачи о характеристиках всех геометрий с помощью их внутренних свойств. Работы Римана заложили основу современной области математики — дифференциальной геометрии, ветви математики, изучающей поверхности и геометрию.

Так как с этого момента я буду почти всегда рассматривать пространство и время совместно, мы увидим, что, вообще говоря, понятие пространства-времени более полезно, чем понятие пространства. Пространство-время имеет на одно измерение больше, чем пространство: в дополнение к «вверх — вниз», «налево-направо» и «вперед — назад» имеется еще время. В 1908 году математик Герман Минковский использовал геометрические понятия для развития этой идеи об абсолютной пространственно-временной структуре. В то время как Эйнштейн изучал пространство-время, используя временную и пространственные координаты, зависевшие от системы отсчета, Минковский определил независящую от наблюдателя пространственно-временную структуру, которую можно использовать для характеристики данной физической ситуации.

В оставшейся части книги, когда я буду говорить о размерности, я буду указывать число пространственно-временных измерений, если явно не указано иное. Например, когда мы глядим вокруг себя, мы видим то, что с этого момента я буду называть четырехмерной Вселенной. Иногда я буду выделять время и говорить о «3+ 1»-мерной Вселенной или о трех пространственных измерениях. Имейте в виду, что все эти термины относятся к одной и той же системе, имеющей три пространственных и одно временное измерения.

Структура пространства-времени — очень важное понятие. Оно сжато характеризует геометрию, соответствующую гравитационному полю, порожденному заданным распределением энергии и вещества. Но Эйнштейн с самого начала отвергал эту идею, которая казалась ему похожей на излишний надуманный способ переформулировать физику, которую он только что объяснил. Однако в конце концов он заметил, что пространственно-временная структура оказалась существенной для полного описания общей теории относительности и расчета гравитационных эффектов. (Для протокола, Минковский тоже не был слишком поражен Эйнштейном при первом знакомстве. На основании поведения Эйнштейна, когда тот был студентом в классе Минковского по дифференциальному исчислению, Минковский заключил, что Эйнштейн был «лентяем».)