Коллектив авторов - Современная космология: философские горизонты

Общий итог релятивистской космологии в интересующем нас вопросе формулируется так: в пространстве-времени Вселенная метрически бесконечна.

2.4. Топологическая бесконечность. В плане возрастающей общности геометрических идей (по Эрлангенской программе Клейна, сейчас следовало бы рассмотреть постановку проблемы бесконечности в аффинной и проективной геометрии. Однако имея в виду интересующий нас космологический аспект проблемы, такое рассмотрение, по-видимому, без ущерба для дела можно опустить и перейти сразу к наиболее общему, с точки зрения геометрии, аспекту вопроса — топологическому.

Метрические свойства многообразия сохраняются при его деформациях, оставляющих неизменными расстояния и углы. В наглядном случае двумерного многообразия (поверхности) такие деформации представляют собой всевозможные изгибы без растяжений и разрывов поверхности. Топологические свойства сохраняются при более значительных деформациях, таких, которые оставляют неизменными лишь связность поверхности, т. е., грубо говоря, его свойство состоять из одного или нескольких кусков. Поверхность можно любым образом изгибать, растягивать и сжимать, но без разрывов и склеиваний краев. (В общем случае трех- или многомерного пространства отсутствие разрывов означает непрерывность преобразования пространства, а отсутствие склеиваний — взаимную однозначность такого преобразования, то обстоятельство, что каждой точке недеформированного преобразования соответствует лишь одна точка деформированного и наоборот). Метрическое пространство есть частный случай топологического (всякое метрическое пространство есть и топологическое пространство, но существуют такие топологические пространства, которые не могут быть метризованы — понятие расстояния в них неприменимо).

Познание топологических свойств пространственно-временного континуума Вселенной, вероятно, явится одной из наиболее фундаментальных задач космологии недалекого будущего. Пока же здесь сделаны лишь первые шаги, и каждый из них связан с преодолением очень больших трудностей.

2.4.1. Выше (2.3.2) говорилось о том, что кривизна определяет свойство конечности или бесконечности пространства постоянной кривизны однозначно. Теперь пора уточнить, что это так только в случае односвязного пространства, в общем же случае по локальным свойствам пространства, определяемым метрикой, еще нельзя судить о его глобальных свойствах. Метрика на плоскости и на поверхности цилиндра — в точности одна и та же (евклидова), но на поверхности цилиндра существуют конечные расстояния, возвращающие кратчайшим путем в исходную точку. Топологически эти две поверхности различны (не гомеоморфны), ибо деформация, при которой из плоской полосы получается поверхность цилиндра, включает склеивание краев, т. е. нарушает требование взаимной однозначности соответствующих точек.

Роль топологических свойств пространства для релятивистской космологии в принципе известна очень давно. Когда Эйнштейн предложил исторически первую релятивистскую космологическую модель — статическую модель с пространством постоянной положительной кривизны, — он трактовал это пространство как «сферическое». Но Клейн тогда же показал, что это пространство можно трактовать и как «эллиптическое». Объем последнего вдвое больше объема «сферического» пространства. Но все же пространства постоянной положительной кривизны конечны (замкнуты). Однако отрицательная или равная нулю постоянная кривизна, т. е. случай, когда локально пространство имеет свойства бесконечного (открытого) пространства, еще не позволяет сделать вывод о том, что оно действительно бесконечно, ибо среди топологически различных типов таких пространств известны и замкнутые формы. Таким образом, локальные и глобальные свойства пространства могут быть не только различны, но даже противоположны (в тех пределах, в которых конечность и бесконечность могут противопоставляться друг другу).

Вообще в топологии простое противопоставление конечного (замкнутого) и бесконечного (открытого) становится еще менее обоснованным, чем в метрической геометрии, их взаимоотношения становятся еще более сложными.

Следовательно, существуют по крайней мере две очень серьезные причины, в силу которых нельзя утверждать, что уточнение данных о кривизне метагалактического пространства позволит решить вопрос о том, конечна или бесконечна Вселенная. Во-первых, как уже говорилось выше (2.3.2), это было бы верно только в том случае, если бы мы могли быть уверены в том, что в природе реализуется наиболее удобная возможность — простейший случай пространства постоянной кривизны. Во-вторых, как мы видим сейчас, даже в этом случае все могла бы испортить каверзная топология.

2.4.2. Трудности, которые стоят на пути познания топологических свойств пространственно-временного континуума, можно (довольно условно, разумеется) разделить на две группы: математические и физические трудности. Начнем с первой группы.

Космология заинтересована в классификации возможных пространств (в математическом смысле) по их топологическим типам. Эта задача решена исчерпывающим образом только для двумерных пространств (поверхностей), во всяком случае, для замкнутых поверхностей. Задача изыскания всех топологических типов многообразий трех и большего числа измерений, по словам такого знатока топологии, как акад. П.С. Александров, «до настоящего времени остается безнадежно трудной».

Что касается наиболее важного для космологии вопроса о топологических свойствах пространства-времени (псевдориманова многообразия), то здесь, естественно, положение еще сложнее и, вероятно, таит в себе немало сюрпризов. Намек на то, что эти сюрпризы могут быть весьма разительного свойства, содержится в проблеме пространственных форм Клиффорда — Клейна, или локально евклидовых пространств [360] Картам 3. Геометрия римановых пространств, М.-Л. 1936. . Если рассматривать их в качестве подпространств римановых (псевдоримановых) пространств, то возникает возможность замкнутых во времени «миров», грубо говоря, возможность «путешествия в свое собственное прошлое», обращения направления времени вспять в результате перемещения в пространстве [361] Heckman О. E. Schucking // Gravitation: an introduction to current research, ed. by Z.Witter, N.-Y., 1963. P. 443. . В какой мере и в каком смысле физически реализуема такая математическая возможность, это пока далеко не ясно, но ее существование, во всяком случае, является лишним предостережением против чрезмерно оптимистической оценки наших современных знаний о бесконечности.

Насколько я могу судить, те частные, но очень интересные результаты, которые получены в области топологии космологических моделей, получались двумя путями (или их сочетанием). Первый путь — это нахождение систем отсчета, наиболее подходящих к характеру задачи (подходящих с точки зрения тех или иных физических или математических критериев), и исследование свойств пространства или пространства-времени найденных систем отсчета. В качестве примера использования физических критериев можно указать на вакуольную модель Эйнштейна и Страуса [362] Einstein A., Straus E. Rev.Mod. Phys., 17, 120, 1945. или известную абсолютно вращающуюся модель Геделя [363] GodelK. Rev. Mod. Phys., 21, 447, 1949. , которую считают важнейшим достижением теоретической космологии после Эйнштейна и Фридмана [364] Гекман О., Шюкинг E. // «Строение звездных систем». М., 1962. С. 601, 628. . Пример использования математических критериев — ряд работ последних лет о внутреннем решении Шварцшильда (см., например 5); к этим работам придется вновь обратиться в 2.4.4. Второй путь — это выяснение топологии данного многообразия путем его погружения в евклидово многообразие большего числа измерений. Так, например, пространство-время простейших (однородных изотропных) моделей может быть вложено в пятимерное евклидово многообразие; в силу равноправия пространственных координат можно ограничиться одной из них и тогда получаются чрезвычайно наглядные «диаграммы Робертсона [365] ЯоЬеПяоп Н. Rev.Mod.Phys., 5, 63, 1933. ». В некоторых более сложных случаях четырехмерное пространство-время «не помещается» в пятимерное евклидово многообразие, и приходится прибегать к шестимерному [366] Каэпег С. Ап. ШаШ., 43, 130, 1921. . Но и тогда можно получить довольно наглядные диаграммы в виде трех- и двухмерных проекций интересующего нас сечения многообразия.