Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Закономерности этого явления проще всего объяснить в случае размножения насекомых, питающихся деревьями. Классический пример их вспышек размножения представляет хорошо изученный черный большой усач, обитающий в Саянских горах. Вспышка начинается, когда насекомые почти не заметны в лесу, но за несколько лет их число возрастает в 10 раз, и вспышка прокатывается по лесу, уничтожая на своем пути значительную часть деревьев, затем она затухает, и насекомых опять почти не видно.

Для изучения динамики популяции важно знать, каким образом по численности насекомых в текущем году можно предсказать, сколько их будет в следующем. Пусть на некотором участке в текущем году оказалось К насекомых, а в следующем – М. Тогда отношение М/К измеряет, во сколько раз увеличилось число насекомых (если это отношение больше 1), или уменьшилось (если оно меньше 1). Отношение М/К называется коэффициентом размножения рассматриваемого вида на выбранном участке. Если природные условия на участке мало меняются, а насекомые распределяются на нем равномерно, то их численность пропорциональна площади, и отношение М/К для любой части участка одно и то же. Поэтому достаточно брать для исследования участки одной и той же площади, например, в 1 кв. километр. Конечно, в разных частях леса отношение М/К может быть различно, в зависимости от природных условий, и – что наиболее важно для дальнейшего – оно может меняться от года к году: в самом деле, уже имеющаяся численность насекомых должна влиять на процесс размножения, поскольку от нее зависит, сколько остается в лесу пищи и удобных мест для поселения. Ясно, например, что если насекомых становится слишком много, то есть происходит перенаселение, то их размножение должно замедлиться, так как часть потомства не может выжить.

Таким образом, если известно только число насекомых данного вида К, живущих на участке в 1 кв. километр, то нет простого правила, позволяющего предсказать их число М в следующем году. Для изучения этого вопроса служит описываемый ниже метод "фазовых портретов".

Назовем "стандартным наблюдением" подсчет в текущем году числа насекомых рассматриваемого вида К на данном участке и числа тех же насекомых М на том же участке в следующем году. Стандартное наблюдение дает пару чисел (К, М), которую можно изобразить геометрически с помощью координат. Для этого построим на плоскости две перпендикулярные оси (рис.1) и выберем на обеих осях одну и ту же единицу масштаба (означающую, скажем, 1000 насекомых). Будем откладывать число К по горизонтальной оси (оси абсцисс), а число М – по вертикальной (оси ординат). Тогда результат стандартного наблюдения – пара чисел (К,М) – изображается точкой Р плоскости с координатами (К,М): на рис.1 К = 5000, М = 6000. Это значит, что в первый год на участке оказалось 5000 насекомых, а во второй год наблюдения – 6000.

Рис.1

Теперь представим себе, что в изучаемом лесу в течение ряда лет производится множество стандартных наблюдений, на разных или на одних и тех же участках. Изображая результат каждого наблюдения точкой плоскости (К,М), мы получаем "облако" точек (рис.2), называемое фазовым портретом интересующей нас популяции.

Рис.2

Каждая точка "облака" изображает два числа, полученные подсчетом на одном и том же участке в два последовательных года. Так, точка P 1может означать, что в 1985 году на некотором участке было обнаружено 8000 насекомых (абсцисса точки), а в следующем 1986 году на том же участке 6000 насекомых (ордината точки). Точка P 2может изображать стандартное наблюдение на том же участке, в котором исходная популяция в 1986 году (6000) превращается в 1987 году в 5000. Таким образом, точки Р 1, Р 2изображают два последовательных стандартных наблюдения на одном и том же участке. Точка P 3может относиться к тому же, или к другому участку, где стандартное наблюдение было проведено в 1992 году (с результатом 8000) и в 1993 году (с результатом 11000). Точка P 4означает, что на каком-то участке в 1990 году оказалось 14000 насекомых, а в 1991 году – 8000.

Хотя может оказаться, что разные точки "облака" относятся к одному и тому же участку (и к разным годам наблюдения), в общем случае они относятся к разным участкам и изображают результаты многолетних наблюдений, каждое из которых производится в два последовательных года. Можно спросить себя, содержат ли полученные данные какую-либо зависимость между числом К – численностью популяции в текущем году – и числом М – численностью популяции на том же участке в следующем году. В общем случае такой зависимости нет, поскольку для одной и той же абсциссы К в облаке может быть много точек с различными ординатами М. Это означает, что размножение насекомых зависит не только от исходного их количества, но и от каких-нибудь природных условий – качества леса на участке, погоды в выбранном для наблюдения году и т.д. (напомним, что площадь участка всегда берется стандартной – 1 км 2).

Но в ряде важных случаев все эти факторы оказываются не очень существенными, а главное значение имеет численность исходной популяции К. В таких случаях "облако" рис.2 принимает "вытянутую" форму, изображенную на рис.3а. Сужение облака означает, что (предполагая наблюдения достаточно полными) при данном значении К популяция в следующем году всегда оказывается лишь в узких пределах (M 1, M 2).

Рис.3a и 3б

Если "облако" достаточно узко, то его можно приближенно заменить кривой (рис.3б), воспроизводящей его форму и играющей роль приближенного фазового портрета популяции. Конечно, при этом мы "огрубляем" наше описание размножения популяции, не учитывая колебаний М в зависимости от природных условий и погоды и оставляя лишь зависимость М от К, т.е. от численности исходной популяции: в самом деле, на рис.3б при заданном К соответствующее значение определяется точкой пересечения кривой с вертикалью, на которой абсцисса равна К, и больше ни от чего не зависит. Такая зависимость между величинами, при которой значение первой величины (аргумента) полностью определяет значение второй (функции), называется функциональной зависимостью. Рис.3б изображает зависимость М от К; здесь К – аргумент, М – функция, а кривая на рисунке – график этой функции. Читатель может найти по этому графику несколько значений М, произвольно задавая значения К.

Конечно, процедура перехода от "узкого облака" на рис.3а к графику рис.3б очень типична и встречается во всех случаях, когда функциональные зависимости получаются из опыта (или, как говорят, являются "эмпирическими" зависимостями). В действительности облако может быть значительно уже, чем на рис.3а, и приближение 3б оказывается значительно точнее. Мы будем считать, что в нашей задаче о размножении насекомых (и в ряде других задач, рассматриваемых дальше) такое приближение законно. Естественно, это предположение должно быть подтверждено опытом, и в целом ряде вопросов оно в самом деле хорошо подтверждается. Итак, в качестве фазовых портретов мы будем чаще всего рассматривать кривые – графики функций.