Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Прежде чем перейти к доказательству, я хотел бы вернуться на несколько десятилетий назад, в 1979 год, когда я еще работал в Институте перспективных исследований. В тот год я пригласил в Принстон более дюжины исследователей со всего мира, работающих в области геометрического анализа, чтобы вместе с ними попытаться заложить основы этой новой дисциплины. Мною было отобрано 120 важнейших геометрических вопросов, почти половина из которых в настоящее время полностью решена. Гипотеза Пуанкаре в этот список не входила. Причиной тому, с одной стороны, было отсутствие необходимости привлекать внимание к задаче, которая и без того являлась одной из известнейших в математике. С другой стороны, я искал задачи, имеющие более узкую формулировку, — такие, на которые можно найти однозначный ответ, — причем, по возможности, в обозримое время. И хотя нам порой приходилось бороться за то, чтобы узнать что-то новое, мы достигли заметного прогресса именно на пути решения подобных задач; это как раз то, что стимулирует математиков к работе сильнее, чем что-либо другое. В то время, однако, никто не знал, что делать с гипотезой Пуанкаре.

Одним из тех, кто не принимал участия в наших дискуссиях, был математик Ричард Гамильтон, работавший тогда в Корнеллском университете и впоследствии осевший на математическом факультете Колумбийского университета. В то время он как раз приступал к выполнению амбициозного проекта, посвященного поиску методов преобразования сложной и не обладающей гладкостью метрики в более гладкую. Несмотря на все упования Гамильтона, эти разработки не принесли столь быстрого успеха, на который он рассчитывал. Его интересовала чрезвычайно сложная система уравнений, относящаяся к вопросу о потоке Риччи — одном из видов геометрического потока, которые уже упоминались ранее. По сути дела, геометрический поток представляет собой метод, позволяющий разгладить выпуклости и прочие неровности на неоднородной поверхности, придавая таким образом поверхностям более однородную кривизну и выявляя фундаментальные формы, лежащие в их основе. Идеи Гамильтона не вошли в мой список из 120 основных задач хотя бы потому, что в то время он еще ничего не опубликовал по этой теме. Он скорее забавлялся ими, чем пытался найти решение.

Возможность познакомиться с его достижениями на 1979 год я получил, выступая с докладом в Корнеллском университете. Гамильтон тогда не считал свои уравнения применимыми к доказательству гипотезы Пуанкаре — он рассматривал их просто как задачу, небезынтересную для исследователя. Впервые столкнувшись с подобными уравнениями, я также занял весьма скептическую позицию по поводу их применимости… Уравнения выглядели слишком сложными, чтобы их можно было использовать на практике. Однако работа, проделанная Гамильтоном после этого, позволила ему опубликовать в 1983 году статью, посвященную решению уравнений, которые сейчас носят название гамильтоновых. В этой статье Гамильтон доказал особый случай гипотезы Пуанкаре, а именно тот случай, при котором кривизна Риччи положительна. О кривизне Риччи, тесно связанной с физикой, более подробно будет рассказано в следующей главе.

Мой изначальный скептицизм побудил меня досконально исследовать статью Гамильтона, вчитываясь буквально в каждую строку, прежде чем я окончательно согласился с ней. При этом доказательство Гамильтона столь захватило меня, что по прочтении я немедленно поручил трем моим аспирантам из Принстона начать работу над его уравнениями. Тогда же я посоветовал Гамильтону попытаться воспользоваться своим подходом для доказательства гипотезы геометризации Тёрстона, относящейся к классификации трехмерных многообразий по восьми типам геометрий, расширенная форма которой включает в себя и общее доказательство гипотезы Пуанкаре. К сожалению, в то время я был мало осведомлен о каких-либо других методах, которые бы пригодились для дальнейшей работы над этим вопросом. Как ни удивительно, Гамильтон взялся за эту задачу с огромной энергией, постепенно продвигаясь в области исследований потока Риччи на протяжении следующих двадцати лет, работая в основном самостоятельно, хотя и находясь в тесном контакте со мной и моими студентами. Контакты между нами заметно оживились в 1984 году, когда мы с Гамильтоном вместе поступили на работу в Калифорнийский университет в Сан-Диего, где заняли смежные офисы. Посещение его семинаров по потокам Риччи было обязательным для всех моих студентов. Сотрудничество с Гамильтоном позволило нам узнать много нового, впрочем, я надеюсь, что он также перенял кое-что и от меня. Переехав в Гарвард в 1987 году, я больше всего жалел об утраченной возможности работать в тесном контакте с Гамильтоном.

Не обращая внимания на окружающих, Гамильтон с неколебимой решительностью занимался решением своей задачи. Помимо прочего им было опубликовано полдюжины важнейших статей — порядка девяноста страниц каждая, — и в конце концов, ни один из его аргументов не оказался бесполезным. Все они пригодились при восхождении на гору Пуанкаре.

Так, например, Гамильтон показал, что все без исключения геометрические объекты, имеющие округлую форму, могут быть преобразованы в сферы при помощи потока Риччи — в полном соответствии с идеями Пуанкаре. Однако, как им было установлено, при деформации более сложных объектов будут неминуемо возникать выступы, складки и прочие сингулярности. Возможности обойти эти сингулярности не было, поэтому столь важным являлся вопрос, с какими именно сингулярностями можно столкнуться в данном процессе. Полный список всевозможных особенностей, которые могут возникнуть при деформации, был сформулирован Гамильтоном на основании моей совместной работы с Питером Ли, к которой я привлек его внимание за несколько лет до этого, — впрочем, Гамильтон весьма впечатляюще обобщил наши результаты.

Мой личный вклад в описываемые исследования восходит к 1973 году, когда я приступил к использованию нового метода, разработанного мной для гармонического анализа — области математики, насчитывающей несколько сотен лет и используемой для описания равновесных ситуаций. Созданный мной метод был основан на так называемом принципе максимума , который предполагает рассмотрение худшего из всех возможных сценариев. Представим, к примеру, что нам требуется доказать неравенство А < 0 . Для этого нужно сформулировать вопрос так: «Какое максимальное значение может принимать А?» Если рассмотреть наихудший случай, то есть взять наибольшее из возможных значений А и его величина все равно останется меньше нуля, то этим мы и подтвердим истинность исходного утверждения. На этом работу по доказательству можно считать законченной и насладиться заслуженным отдыхом. Я, иногда работая сам, иногда — совместно с Ш. Ю. Ченгом, моим бывшим однокурсником из Китайского университета Гонконга, применил этот принцип к огромному количеству нелинейных проблем. Работа включала в себя исследование уравнений, повсеместно возникающих в геометрии и физике и носящих в математике название эллиптических . Хотя подобные задачи, как правило, чрезвычайно сложны, в них отсутствует зависимость от времени, и поэтому их можно рассматривать как стационарные, что заметно упрощает решение.