Айзек Азимов - О времени, пространстве и других вещах

Понятие о числах и действиях с ними возникло еще в доисторические времена. Думаю, сейчас на нашей планете уже не осталось племен, даже находящихся на примитивном уровне развития, которые не имели бы представления о числах.

После возникновения письменности — а именно это событие находится на границе между «доисторическими временами» и древностью — возникла необходимость сделать следующий шаг — записать числа. Конечно, совсем не трудно записать числа при помощи букв как любое слово. В английском языке число пальцев на одной руке выражается словом «five» (пять), а на всех четырех конечностях словом «twenty» (двадцать).

Еще в далекой древности королевские сборщики налогов, летописцы, переписчики заметили, что числа — это не простые слова, они располагаются в строго определенном порядке. Поэтому следовало придумать для их обозначения особые знаки.

Если, к примеру, обозначить число 1 — ′, 2 — ′′, 3 — ′′′ и т. д., весь ряд может быть выражен символически без особого труда. Легко можно убедиться, что символ ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′ обозначает 23. Более того, этот символ универсален и обозначает 23 на любом языке.

Однако прочитать слишком много значков в непрерывном ряду не всегда легко. Поэтому представляется логичным разбить такой ряд на небольшие группы. Поскольку мы привыкли для подсчета пользоваться пальцами руки, вполне можно разбить ряд знаков на группы по пять единиц. Тогда число 23 будет выглядеть следующим образом: ′′′′′ ′′′′′ ′′′′′ ′′′′′ ′′′. Если мы уже находимся на более высоком уровне развития и можем использовать для счета пальцы обеих рук, то же самое можно выразить так: ′′′′′′′′′′ ′′′′′′′′′′ ′′′. Если привлечь к работе и пальцы ног, можно разбивать значки в группы по двадцать.

Эти три метода разбивки ряда символов на более мелкие группы, с которыми легче обращаться, оставили свой след во всех числовых системах, которыми пользуется человечество. Наибольшее распространение получила разбивка на группы по 10. Двадцать символов в одной группе — очень много для восприятия, а пять — с увеличением числа получается слишком много групп. Таким образом, десять — удачный компромисс.

Следующий логичный шаг — обозначить группу из 10 символов особым знаком. Нет никакого резона всякий раз выписывать ′′′′′′′′′′, если вместо этого можно использовать всего один значок, к примеру ―. В таком случае 23 будет записано следующим образом: ― ― ′′′.

Если вы начали двигаться в этом направлении, следующие шаги совершенно очевидны. С течением времени десять групп по десять (100) обозначаются другим знаком, например +. 10 сотен (тысячи) станут = и т. д. Тогда число 4675 может быть записано следующим образом:

= = = = + + + + + + ― ― ― ― ― ― ― ′′′′′

Или так (для облегчения зрительного восприятия):

= = + + + ― ― ― ′′′.

―

= = + + + ― ― ― ′′.

Между прочим, древние вавилоняне применяли именно такую систему, используя для этого клинопись.

Греки на ранних этапах развития тоже использовали подобную систему, но позже более популярным стал другой метод — с использованием букв алфавита.

Представляется естественным соотнести алфавит и числовой ряд. На первый взгляд они созданы именно для этого! Ряд «А, В, С, D, E…» идет так же гладко и стройно, как «1, 2, 3, 4, 5…»; кажется легким заменить один другим. Если мы используем недифференцированные символы, такие, как ′′′′′′′ для «семи», все компоненты символа идентичны и должны быть записаны без исключения, если символ предназначен для обозначения числа 7, и ничего другого. С другой стороны, если «ABCDEFG» тоже обозначает 7 (посчитайте буквы и убедитесь), тогда, поскольку все символы различны, записать следует только последний. G — седьмая буква алфавита и обозначает цифру 7. Запомнить несложно. В этом случае работу символа, состоящего из семи компонентов, выполняет однокомпонентный символ. Кроме того, ′′′′′′ (шесть) на первый взгляд очень похоже на ′′′′′′′ (семь), а буквы F (шесть) и G (семь) совершенно не похожи.

Греки, как вы понимаете, использовали свой алфавит. Но я для наглядности буду пользоваться нашими, значительно более знакомыми буквами. А = 1, В = 2, С = 3, D = 4, E = 5, F = 6, G = 7, H = 8, I = 9, J = 10.

Можно пойти далее и сказать, что K = 11, но тогда нашего алфавита хватит только на 26 цифр. Греки сделали лучше. Они воспользовались методом вавилонян разбивки на группы по десять. Если J = 10, это означает не только 10 предметов, но также одну группу из 10 предметов. Тогда можно использовать следующие буквы для обозначения десятков.

Иначе говоря, J = 10, K = 20, L = 30, M = 40, N = 50, O = 60, P = 70, Q = 80, R = 90. Далее можно продолжать с сотнями: S = 100, T = 200, U = 300, V = 400, W = 500, X = 600, Y = 700, Z = 800. Конечно, удобнее было бы продолжать до 900, но закончились буквы. Однако в старомодных алфавитах в конце иногда ставили значок &, поэтому мы имеем право довести дело до логического завершения и обозначить & = 900.

Таким образом, первые девять букв представляют собой единицы от 1 до 9, вторые — десятки, также от 1 до 9, третьи — сотни, и тоже от одной до девяти. (Раньше в греческом алфавите были только 24 буквы, а требовалось 27, поэтому для обозначения всех цифр греки добавили три устаревшие буквы.)

Такая система имела как преимущества, так и недостатки в сравнении с вавилонской системой. Основное преимущество заключалось в том, что любое число до 1000 выражалось тремя символами. К примеру, в соответствии с только что описанной мною системой 675 = XPE, а 816 = ZJF.

Ее существенный недостаток заключается в том, что для изображения чисел до 1000 следует запомнить и никогда не путать все 27 символов, а вавилоняне использовали для этого всего три символа.

К тому же греческая система прекращала свое действие, когда заканчивались буквы алфавита. Самое большое число, которое можно записать таким образом, — 999 = &RI. Далее необходимо вводить новые обозначения для групп тысяч, десятков тысяч и т. д.

Недостатком греческой системы являлось то, что одни и те же символы использовались для обозначения слов и чисел. Вполне можно что-то и перепутать. Между прочим, в греко-римские времена евреи приняли греческую систему представления цифр, но с использованием иудейского алфавита и сразу столкнулись с немалыми трудностями. Число 15 они записывали как «десять-пять». Но это же самое слово «десять-пять» у иудеев являлось именем Господа, которое нельзя было произносить всуе. Поэтому иудеям, чтобы не богохульствовать, пришлось ввести вместо «десять-пять» «девять-шесть».

Хуже того, слова в греко-иудейской системе выглядели как цифры. Например, используя наш алфавит, буквами WRA обозначается число 591. В алфавитной системе обычно все равно, в каком порядке располагать символы (хотя, как мы убедимся, это неприменимо к римским цифрам, которые также являются алфавитными), и WAR также означает 591. Согласитесь, легко поверить, что в этом числе есть что-то угрожающее, даже смертельно опасное.