Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Рис 8.2. Пространство–время геометрии Шварцшильда в координатах удалённого наблюдателя

он «слипается» и превращается в одну вертикальную линию. Вертикальная линия для удалённого наблюдателя означает, что свет «остановился», его скорость стала «нулевой». Это и означает, что на горизонте все явления замораживаются. Расчёт нулевой геодезической показывает, что для удалённого наблюдателя свет никогда не достигнет горизонта.

Частично такое поведение световых конусов связано с эффектом замедления времени при приближении к гравитирующему центру. Однако, полностью его форма, как мы уже говорили, определяется условием ds = 0, как раз оно определяет «видимую» скорость света для удалённого наблюдателя: v c = c ( 1 - r g /r). На значительном удалении от центра скорость близка к c , по мере приближения к центру она уменьшается, а на горизонте, действительно, обращается в нуль. Это прямо связано с формой световых конусов на рис. 8.2. Скорость материальных частиц всегда меньше скорости света (мировая линия физической частицы, находится между створками светового конуса), поэтому их «видимые» предельные скорости тоже уменьшаются при продвижении к центру, и они тоже никогда не достигнут горизонта в координатах r и t. Этот вывод ещё раз подтверждает наше описание свободного падения к горизонту с точки зрения удалённого наблюдателя.

Далее продолжим наш мысленный эксперимент, теперь «сожмём» все вещество сферического объекта не только до гравитационного радиуса, а вообще, до «точки» r = 0. То есть все пространство–время будем рассматривать как вакуумное. Формально мы имеем право это сделать, поскольку решение Шварцшильда как раз вакуумное. Обратимся к выражению для метрики. Мы уже отметили, что на горизонте коэффициент g 00при c 2 dt 2 обращается в нуль, а коэффициент g 11 при dr 2 становится бесконечным. Мало того, есть особенность и в «точке» r = 0: здесь, наоборот, g 00 становится равным «минус бесконечности», g 11 — равным нулю. Вспомним, что для «обычного» тела, о котором речь шла в начале параграфа, не возникло никаких особенностей. Далее мы обсудим смысл как особенности на горизонте, так и особенности в центре.

Начнём с горизонта. Вспомним, что в пространстве Минковского физические сущности пространства и времени остаются разными, несмотря на их релятивистский характер. Это проявляется в том, что временная и пространственная части входят в выражение для интервала с разными знаками: первая — со знаком «плюс», вторая — со знаком «минус». Это так и есть для решения Шварцшильда на удалении от горизонта (в «регулярной» области пространства). Временная часть, определяемая коэффициентом g 00при c 2 dt 2 , действительно, положительна, а пространственная, определяемая коэффициентом g 11при dr 2 , — отрицательна.

А что будет под горизонтом? Там ситуация изменилась: в выражении для интервала мы должны учесть r < r g, тогда коэффициент g 00при с 2 dt 2 - становится отрицательным, а коэффициент g 11 при dr 2 становится, наоборот, — положительным. А это, как только что мы обсудили, означает, что под горизонтом координата t становится пространственной, а координата r — временной! Теперь, учитывая этот факт, построим световые конусы под горизонтом. Поскольку на диаграмме координаты r и t поменяли смысл, световые конусы как бы лягут на бок, с внутренней стороны на горизонте их створ равен 180°, затем приближаясь к центру r = 0, створ уменьшается. Как всегда, мировая линия реальной физической частицы должна быть внутри створа светового конуса. Наконец, при r = 0 лепестки конусов окончательно «слипаются», как показано на рис. 8.2. Расположение и форма световых конусов под горизонтом говорят о двух вещах. Первое, действительно, ни лучи света, ни какая материальная частица не могут покинуть горизонт и область под ним; второе, все частицы и свет, оказавшись под горизонтом, неминуемо достигнут начала координат при r = 0. Действительно, створ конуса всегда направлен к линии r = 0.

Мы видим, что под горизонтом нет препятствий для движения частиц, хотя и выглядит это несколько необычно. С другой стороны, сигналы извне не могут преодолеть горизонт. Происходит разрыв мировых линий световых лучей и падающих частиц. Самое время обсудить особенность на горизонте. Попытаемся понять, что на горизонте и в его окрестности происходит в реальности.

Придётся вернуться к истокам ОТО и вспомнить, что основной характеристикой пространства–времён и является его искривление (кривизна), которое определяется тензором кривизны Римана. Но вычисление компонент тензора Римана на горизонте и в его окрестности ничего необычного не обнаруживает. До горизонта, на горизонте и под ним кривизна не испытывает никаких разрывов, ведёт себя вполне плавно, постепенно увеличиваясь по мере приближения к центру, Дело в том, что координаты удалённого наблюдателя (а это координаты плоского пространства–времени), в которых и записано решение Шварцшильда, не вполне годятся для описания явлений в окрестности горизонта. Это значит, что нужно найти координаты, которые не имели бы этого дефекта.

Вспомним, что истинное время каждого наблюдателя для него самого всегда имеет одно и то же течение, в том числе и совсем близко к горизонту, А возможно, и на горизонте, почему нет? Поэтому в искомых координатах можно использовать собственное время свободно падающих (сопутствующих) наблюдателей как новую временную координату. Такие координаты для решения Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте, предложил в 1938 году бельгийский астроном и математик Жорж Леметр (1894–1966). В его сопутствующей системе отсчёта мировые линии частиц и световых лучей перестают испытывать разрыв на горизонте — они его свободно пересекают. Диаграмма в координатах Леметра обсуждается в Дополнении 5.

Что же испытают наблюдатели, минуя горизонт? Все зависит от кривизны этого горизонта. Если чёрная дыра огромная, то локально горизонт довольно плоский, и наблюдатель никак не отреагирует на его пересечение. Если уменьшать чёрную дыру, то в определённый момент наблюдатель начнёт ощущать действие приливных сил. Его начнёт «растягивать» по радиусу и «обжимать» с боков. Но эти явления могут начаться и до достижения горизонта, они с ним не связаны. Ключевым моментом является следующее. Оказавшись под горизонтом, наблюдатель имеет возможность получить сигнал из внешнего мира, но не имеет возможности послать сигнал наружу.