Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждую мировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ, давление р и кривизна пространства должны быть одинаковы.

Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждый сопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.

Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие‑то её части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются, Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определённой точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.

В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Казнером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры р 1 , p 2 , p 3 удовлетворяют двум соотношениям р 1 + p 2 + p 3 = 1 и р 1 2 + p 2 2 + p 3 2 = 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.

от фридмановской, без материи, хотя её можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид

Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объёма dV = t р1+p2+p3 dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно — по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей — сжимается (ей соответствует отрицательный параметр), Очевидно, что это анизотропное поведение.

Казнеровский режим расширения, конечно, не соответствует современному расширению — слишком очевидна его анизотропия, которая не наблюдается. Однако, вблизи сингулярности t = 0, которая имеет место, так же, как и во фридмановском сценарии, решение Казнера представляется интересным космологам. Оказывается, при приближении к сингулярности возникает осциллирующий режим Казнера, когда отрицательный параметр начинает переходить от одного пространственного измерения к другому с возрастающей частотой. Это даёт дополнительные возможности «подобраться» к пониманию физики космологической сингулярности. Связь с вселенной Фридмана, в которой мы живём, в одном из вариантов осуществляется следующим образом. Анизотропная часть модели Казнера трактуется как эффективная материя, которая с расширением распадается с образованием обычной материи. Если и остаётся анизотропия, то она не наблюдается из‑за слабости эффекта.

В основном тексте было сказано, что каждой из моделей Фридмана: открытой, плоской и закрытой, соответствуют свои значения плотности энергии ε или плотности массы ρ в соответствии с определением ε = ρc 2. Плоской модели соответствует критическая плотность ε кp= ρ кpc 2, открытой — ε < ε кp, а закрытой — ε > ε кp. Напрашивается очевидный вопрос: в каком мире мы живём?

Рассмотрим ситуацию несколько подробнее. Одно из уравнений Фридмана можно привести к виду:

Здесь ρ M означает плотность массы всей материи Вселенной, которую обычно записывают в виде суммы ρ M = ρ m + ρ dm + ρ de, где вклад представлен обычной материей (барионы, излучение), тёмной материей и тёмной энергией. Величина к называется знаком кривизны и определяет тип модели Фридмана: гиперболическому пространству соответствует k = -1 , плоскому — k = 0, замкнутому — k = + 1. В ходе эволюции Вселенной знак кривизны не меняется.

Теперь вспомним, что постоянная Хаббла Н = а/а, и нормируем это уравнение на ρ кр= 3 H 2 /8 π G. Тогда оно приобретёт форму:

Модели Фридмана и критическая плотность

Как видно, величина Ω сописывает отклонение от единицы в ту либо другую сторону отношения Ω Μ, а конкретное значение Ω сопределяет знак и величину кривизны пространства. Если отклонения нет, то кривизна пространства нулевая. Таким образом, вопрос о геометрии пространства решается, если известно значение ρ M .

Однако определить ρ M напрямую эмпирически невозможно. Поэтому, наоборот, сначала с помощью наблюдений определяют кривизну пространства. Это делается различными способами. Наибольшим доверием пользуется анализ анизотропии реликтового излучения. Другой способ основан на изучении видимой светимости (блеска) сверхновых известного типа в далёких галактиках, независимом определении расстояний до них и сопоставлении этих данных. Также информацию о типе и величине кривизны получают, исходя из картины крупномасштабной структуры Вселенной.

Кривизна трёхмерного пространства оказывается весьма малой, радиус кривизны, по крайней мере, в 10 раз превышает размеры наблюдаемой части Вселенной. Это соответствует отклонению плотности всей материи от критической |Ω с| < 0,01. Если плотность массы обычной материи ρ dm и тёмной материи ρ dm известны из эмпирических данных, то плотность тёмной энергии ρ de не известна. Фактически она определяется расчётным путём из соотношения ρ M ≈ ρ кр. И, наконец, поскольку оценка кривизны приблизительна, то пока нельзя сказать какая именно из моделей Фридмана соответствует реальному миру.