Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века

Детально рассматривая решение для случая n = 4, Декарт получает также классификацию решений для других значений. Он принимает одну из прямых за ось абсцисс, тогда ординатой искомой точки будет служить отрезок, проведенный из нее на абсциссу под данным углом. Затем Декарт показывает, что отрезок, проведенный из этой точки к любой другой прямой, может быть выражен через комбинацию двух неизвестных в виде αх + βx + γ, где α, β, γ определяются условиями задачи. Отсюда следует, что для данного числа n степень x в уравнении, соответствующем произведению отрезков, не будет превышать n/2, а в большинстве случаев она будет меньше. Поэтому для решения проблемы Паппа в случае 5 или меньшего числа прямых получается квадратное уравнение. Если число линий увеличивается, соответственно увеличивается трудность задачи, которая определяется повышением степени уравнения.

Вторая книга «Геометрии» посвящена подробному рассмотрению кривых, которые являются геометрическими местами точек, представляющих решение проблемы Паппа. В частности, там показывается, что для n ≤ 5 такие кривые являются коническими сечениями. Декарт подчеркивает в этой книге, что уравнение кривой содержит достаточно информации, чтобы определить ее геометрические свойства и характеристики, среди которых наиболее важной является нормаль к любой точке кривой. Поскольку нормаль к кривой в данной точке является перпендикуляром к касательной в этой точке, то правило определения нормалей, данное Декартом, эквивалентно решению задачи о нахождении касательной к кривой; эта последняя играла существенную роль в процессе возникновения дифференциального исчисления.

Рассмотрение уравнений, соответствующих различным кривым, приводит Декарта в третьей книге «Геометрии» к построению теории таких уравнений. Он доказывает сначала утверждение, что любой многочлен Р(x) с действительными коэффициентами может быть представлен в виде Р(x) = (x—a) (x— b)... (x—s), где a, b,..., s — корни уравнения Р(x) = 0. Затем Декарт формулирует основную теорему алгебры, гласящую, что уравнение n-й степени имеет в точности n корней (отметим, что впервые эта теорема была сформулирована А. Жираром в 1629 г.), и тут же предлагает путь ее доказательства.

«Геометрия» Декарта имела огромное значение для всего последующего развития науки, и дело здесь не только в том, что появилась новая область математики, а вместе с нею мощный аппарат для решения всевозможных задач. Важно и то, что одновременно появилась модель математического метода исследования физических проблем, ибо для Декарта физика была равносильна геометрии (хотя в его собственных сочинениях это утверждение и осталось в основном декларацией). Так, он писал Мерсенну в марте 1640 г.: «В физике мне следовало бы считать, что я ничего не знаю, если бы я был способен объяснить лишь то, каковыми могут быть явления, без того, чтобы доказать, что иными они быть не могут. Ибо, сведя физику к математике, это, по-видимому, возможно, и я полагаю, что могу это сделать в рамках небольшого запаса моих знаний, хотя я и не сделал этого <���до сих пор> в моих сочинениях» [4, III, с. 39].

Декарту повезло в Голландии не только потому, что он нашел там убежище и необходимые условия для работы, он приобрел в этой стране друзей и коллег. Как бы он не стремился укрыться, он не мог обойтись без обсуждения научных проблем, без живого общения с людьми. Голландия для этого была превосходным местом. Во-первых, там было немало замечательных ученых, достаточно назвать Стевина, Снелля, Жирара, Сен-Винцента, а среди тех, с кем Декарт был непосредственно связан,— Бекмана, Голиуса, Схоутена, Гюйгенса-отца и др., а, во-вторых, престиж науки в Голландии был невиданно высок. В ней раньше всех других стран произошла буржуазная революция, и поэтому к ней в первую очередь относятся слова Энгельса: «Буржуазии для развития промышленности нужна была наука, которая бы исследовала свойства физических тел и формы проявления сил природы. До того же времени наука была смиренной служанкой церкви, и ей не позволено было выходить за рамки, установленные верой... Теперь наука восстала против церкви, буржуазия нуждалась в науке и приняла участие в этом восстании» [12, II, с. 93].

В этом отношении характерным является тот факт, что ученых можно было найти даже среди правящей верхушки страны. Например, Ян де Витт, который стоял во главе государства в продолжении четверти века (между Вильгельмом II и Вильгельмом III — 1650—1672), был способным математиком и с увлечением занимался наукой. Ко второму латинскому изданию «Геометрии» Декарта было добавлено приложение, написанное де Виттом, в нем рассматривались кинематические методы образования конических сечений и впервые давалось аналитическое решение задачи об определении геометрического места точек, сумма или разность расстояний которых от двух данных точек постоянна.

Другим высокопоставленным голландцем, в лице которого Декарт нашел искреннего друга и почитателя, был Константин Гюйгенс, человек блестящий и обладавший множеством талантов — он был известным поэтом, неплохим художником и музыкантом, говорил почти на всех европейских языках и к тому же разбирался в математике и физике. Достаточно сказать, что Декарт решился опубликовать свою «Диоптрику» благодаря одобрению Гюйгенса, прочитавшего работу в рукописи. Относительно поэтического дарования Гюйгенса интересно отметить, что в начале XIX в. его стихи были переведены на русский язык П.А. Корсаковым, сотрудником русской миссии в Гааге, составившим, по-видимому, первую в России антологию голландской поэзии.

Константин Гюйгенс занимал пост секретаря принца Оранского, что делало его одним из наиболее влиятельных людей в стране. Служба дому Оранских стала в семье Гюйгенсов традиционной — секретарями принцев были и отец Константина, Христиан, и его сын Константин.

Получив прекрасное домашнее образование и закончив затем Лейденский университет, Константин Гюйгенс избирает карьеру дипломата и становится в 1625 г. секретарем штатгальтера Фредерика-Гендрика. При предыдущем штатгальтере, принце Морице, человеке умеренных взглядов и лишенном политического честолюбия, страна тем не менее переживала тяжелые времена из-за религиозных распрей: партия гомаристов, выступавшая с позиций фанатичного кальвинизма, противостояла партии арминистов, стремящихся к установлению религиозной терпимости в стране. Гомаристы стояли за продолжение войны с Испанией и за ужесточение борьбы с католицизмом, в то время как арминисты, выражавшие интересы крупной буржуазии, стремились к миру с Испанией и к расширению с ней торговли. Оранские поддерживали гомаристов, и в 1619 г. штатгальтер Мориц жестоко подавил восстание арминистски настроенной буржуазии, лидер восставших Олденбарневелт, был казнен. Объединенные провинции в 1621 г. вступили в Тридцатилетнюю войну на стороне противников Испании.