Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Поэтому, чтобы найти путь, для прохождения которого свету требуется наименьшее время, мы можем ввести условие: при одновременном изменении i и r изменения δ L и δ t должны оставаться нулевыми с точностью до первого порядка величин δ i и δ r .

Чтобы удовлетворить ему, нам необходимо взять пару стандартных формул дифференциального исчисления для бесконечно малых изменений значений функций δ tg θ (тета) и δ (1/cos θ), которые получаются, когда мы изменяем угол-аргумент θ на бесконечно малую величину δθ:

где R = 360°/2 π = 57,293…° в случае, когда θ измеряется в градусах (это угол размером в один радиан. При измерении углов в радианах R = 1). По этим формулам мы находим изменения L и t в случае, когда мы меняем углы i и r на бесконечно малые величины δ i и δ r :

Заданное условие δ L = 0 говорит нам, что

поэтому:

Полученное выражение приравнивается к нулю, если удовлетворяется равенство

или, иначе говоря,

причем показатель преломления n получается из отношения скоростей, не зависящего от углов:

Это и есть истинный закон преломления света, в котором формула для показателя преломления n верна.

Пусть луч света проникает в сферическую каплю дождя в некоторой точке P на ее поверхности, образуя угол i с нормалью (перпендикуляром) к ее поверхности в этой точке. Если бы преломления света не было, луч продолжал бы идти дальше сквозь каплю по прямой. В этом случае радиус, проведенный из центра капли C к точке Q , лежащей на этой прямой в том месте, где она наиболее близко пролегает к центру капли, образовывал бы с лучом прямой угол, поэтому треугольник PCQ был бы прямоугольным с гипотенузой, равной радиусу капли R , и углом при точке P , равным i (см. рис. 22а). Определим прицельный параметр b как расстояние наибольшего тесного сближения непреломленного луча с центром капли, то есть катетом CQ в этом треугольнике, который по правилам элементарной тригонометрии равен:

С точки зрения положения точки входа в каплю отдельные лучи света можно одинаково хорошо охарактеризовать присущим им отношением b / R , как делал Декарт, или же по значению угла падения i .

В силу явления преломления луч на самом деле войдет внутрь капли под углом r к перпендикуляру к поверхности, значение которого определяется законом преломления:

где n ≈ 4/3 – отношение скорости света в воздухе к скорости света в воде. Луч пересечет толщу капли и достигнет поверхности с обратной стороны в точке P’ . Поскольку расстояния между центром C и обеими точками P и P’ одинаковы и равны радиусу капли R , треугольник с вершинами C, P и P’ является равнобедренным, поэтому углы между направлением луча и перпендикулярами к поверхности в точках P и P’ должны быть одинаковы, то есть и тот и другой равны r . Часть света отразится в точке P’ от внутренней поверхности капли: по закону отражения угол между отраженным лучом и перпендикуляром к поверхности в ней будет опять же равен r . Затем отраженный луч снова пересечет толщу капли и достигнет ее передней поверхности в точке P’’ , снова образуя с поверхностью угол r .

Рис. 22. Путь солнечного луча внутри сферической дождевой капли.Луч обозначен сплошными отрезками с указывающими направление стрелками: он входит внутрь капли в точке P под углом i к перпендикуляру к поверхности: а) путь луча, если бы явления преломления не было: луч в этом случае приближается к центру капли C в точке Q ; б) луч преломляется, входя в каплю в точке P , отражается от задней поверхности капли в точке P’ и снова подвергается преломлению в момент выхода из капли в точке P’’ . Пунктирные линии проведены из центра капли C к точкам контакта луча с поверхностью капли.

Часть света затем покидает каплю, и по закону преломления угол между выходящим наружу лучом и перпендикуляром к поверхности в точке P’’ будет равен исходному углу падения i (см. рис. 22 – здесь показана схема следования луча в плоскости, проходящей через падающий луч, центр капли и наблюдателя. Только те лучи, которые встречаются с каплей, находясь в этой плоскости, имеют возможность достигнуть наблюдателя).

По мере всей этой серии поворотов луч света отклонится в сторону центра капли на угол i – r дважды – в моменты входа в каплю и выхода из нее, и на угол 180° – 2 r при отражении от ее задней поверхности, и значит, полный угол поворота луча составит:

Если бы луч возвращался из капли в направлении, точно противоположном тому, в котором вошел (это происходит в случае, когда i = r = 0), этот угол составил бы 180°, а начальное и конечное направления луча были бы параллельны, поэтому действительный угол φ между ними равен:

Можно выразить r как функцию от i , вот так:

где для любого аргумента x функция arcsin x – это угол (обычно принимаемый в промежутке от –90° до +90°), синус которого равен x . Численный расчет для показателя n = 4/3, который нам встречается в главе 13, показывает, что φ возрастает от нуля при i = 0 до максимального значения при 42° и затем снижается примерно до 14° при i = 90°. График зависимости φ от i горизонтален в своей точке максимума, поэтому большая часть света выходит из капли, подвергаясь отклонению на полный угол, близкий к 42°.

Если мы посмотрим на облачное небо, повернувшись к солнечным лучам спиной, то увидим свет, приходящий к нам под углом 42° между нашим лучом зрения и световыми лучами от солнца. Совокупность этих направлений формирует дугу, которая для нас обычно поднимается в небо из одной точки горизонта и затем опускается к земле в другой. Поскольку коэффициент преломления n слегка варьируется в зависимости от цвета преломляемого луча, для лучей различного цвета углы отклонения φ тоже слегка отличаются, поэтому мы видим дугу, образованную чередованием полос разного цвета. Это и есть радуга.