Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Нетрудно вывести аналитическую формулу, дающую максимальное значение φ для любого коэффициента преломления n . Чтобы найти максимум φ, примем во внимание тот факт, что точке максимума соответствует такое значение угла падения i , при котором график зависимости φ от i горизонтален, а это означает, что ничтожно малое изменение δφ угла φ, происходящее вследствие ничтожно малого изменения δ i угла i , равняется нулю с точностью до первого порядка величины δ i . Чтобы использовать это условие, применим табличную формулу из курса дифференциального исчисления, согласно которой при ничтожно малом изменении δ х аргумента x изменение arcsin x равно:

где, если arcsin x измеряется в градусах, R = 360°/2 π . Таким образом, когда угол падения изменяется на величину δ i , угол отклонения меняется на:

или, поскольку δ sin i = cos i δ i / R ,

Таким образом, условие максимального значения φ таково, что:

Возведя обе части в квадрат и используя правило cos² i = 1 − sin² i (которое является следствием из теоремы Пифагора), мы можем найти из этого выражения значение для sin i :

При этом значении угла падения угол φ максимален:

При n = 4/3 максимальный угол отклонения φ достигается при значении b / R = sin i = 0,86, для которого i = 59,4°, r = 40,2° и φ max = 42,0°.

Закон преломления света можно вывести, исходя из предположения о том, что свет движется по пути наименьшего времени, как было описано в техническом замечании 28. Но его также можно вывести и на основе волновой теории света. По мнению Гюйгенса, свет – это колебания какой-то среды, которая может либо быть заполнена прозрачной материей, либо представляться нам пустотой. Фронт возмущения этой среды являет собой прямую линию, которая движется вперед в направлении своего перпендикуляра со скоростью, характерной для среды, в которой он распространяется.

Рис. 23. Преломление световой волны.И снова горизонтальная линия обозначает границу раздела двух прозрачных сред, в которых свет движется с разными скоростями. Отрезки с поперечными штрихами обозначают фронт волны в разные момены времени – когда передний край фронта волны входит в контакт с границей и когда задний край теряет контакт с границей. Прямые линии со стрелками указывают траектории перемещения переднего и заднего края волнового фронта.

Рассмотрим сегмент такого фронта возмущения длиной L в среде 1, который движется по направлению к границе со средой 2. Допустим, что направление его движения, совпадающее с перпендикуляром к фронту волны, образует с нормалью (перпендикуляром) к этой границе угол i . Когда передний край фронта касается границы раздела сред в точке A , задний его край B еще находится на некотором расстоянии (измеряемом вдоль направления движения волны) от границы, равном L tg i (см. рис. 23). Это значит, что теперь задняя граница фронта волны достигнет пограничной точки D через промежуток времени, равный L tg i / v 1, где v 1 – скорость распространения возмущения в среде 1. В течение того же времени передний край фронта возмущения будет перемещаться в среде 2 под углом r от перпендикуляра к границе раздела сред к точке C , которая расположена на расстоянии v 2 L tg i / v 1, где v 2 – скорость распространения возмущения в среде 2. Когда он пройдет этот путь, волновой фронт, расположенный под прямым углом к направлению своего движения в среде 2, протянется между точками C и D , образуя таким образом прямоугольный треугольник с вершинами A, С и D , в котором угол при вершине C прямой.

Катет AC длиной v 2 L tg i / v 1 – противолежащий углу r в этом треугольнике. Его гипотенуза – отрезок AD , имеющий длину L /cos i (см. рис. 23). Отсюда:

Вспомнив, что tg i = sin i /cos i , замечаем, что множители cos i и L сокращаются, оставляя:

Или, если выразить это иначе,

что и является формулой закона преломления света.

То, что волновая теория света, как доказал Гюйгенс, описывает явление преломления так же, как и принцип наименьшего времени следования, описанный Ферма, вовсе не случайно. Можно показать, что даже в том случае, когда волна движется сквозь неоднородную среду, в которой скорость светового луча плавно меняется в различных направлениях, а не резко на границе раздела сред, из волновой теории Гюйгенса следует, что луч между двумя точками всегда будет следовать по пути наименьшего времени.

Предположим, что мы наблюдаем какой-либо процесс, происходящий с определенной периодичностью на некотором расстоянии от нас. Для определенности возьмем естественный спутник, обращающийся вокруг далекой планеты, хотя приведенный ниже анализ можно применить и к любому другому периодически повторяющемуся процессу. Предположим, что спутник достигает определенного положения на своей орбите в два следующих друг за другом момента времени t 1и t 2. Например, это могут быть моменты времени, когда он появляется из-за планеты. Если орбитальный период этого спутника равен T , то t 2− t 1= T . Это период, который мы наблюдаем при условии, что расстояние между нами и планетой постоянно. Но если это расстояние меняется, то он будет сдвигаться от Т в ту или иную сторону на значение, которое зависит от скорости света.

Предположим, что расстояние между нами и планетой в два следующих один за другим момента времени, когда спутник находится в одинаковом положении на своей орбите, равно d 1и d 2. Следовательно, мы наблюдаем эти положения на орбите в моменты времени: