Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Чтобы получить значительное увеличение, нам нужно, чтобы линза в передней части телескопа была намного слабее окуляра, то есть f >>f ′.

Это не так уж легко сделать. В соответствии с формулой фокусного расстояния, данной в техническом замечании 22, чтобы получить сильный стеклянный окуляр с коротким фокусным расстоянием f ′, его линза должна иметь маленький радиус кривизны, что означает, что она либо должна быть очень маленькой, либо не должна быть тонкой (то есть толщина должна быть намного меньше радиуса кривизны). В обоих этих случаях окуляр не сможет хорошо фокусировать свет. Вместо этого мы можем взять слабую переднюю линзу с большим фокусным расстоянием f , но в таком случае длина телескопа L = f + f ′ ≈ f должна быть очень большой. Галилею потребовалось некоторое время, чтобы внести в свой телескоп изменения, давшие ему достаточное увеличение для астрономических целей.

Галилео сделал свой телескоп немного другим – с вогнутым окуляром. Как уже упоминалось в техническом замечании 22, если разместить вогнутую линзу так, чтобы она сводила в одну точку входящие в нее лучи света, они будут выходить по параллельным направлениям. Фокусное расстояние – это расстояние позади линзы, на котором лучи света сходились бы в одной точке, если бы линзы не было. В телескопе Галилея была слабая выпуклая линза впереди с фокусным расстоянием f и сильная вогнутая линза с фокусным расстоянием f ′ позади нее, перед тем местом, где должно было находиться мнимое изображение, если бы вогнутой линзы не было. Увеличение этого телескопа, опять же, составляет f/f ′, но его длина равна только f − f ′ вместо f + f ′.

Темная и светлая стороны Луны разделяются границей дня и ночи, называемой терминатором – в этой области солнечные лучи падают по касательной к лунной поверхности. Когда Галилей начал наблюдать Луну в телескоп, он обратил внимание на яркие точки на темной стороне Луны вблизи терминатора и истолковал их как свет, отраженный вершинами гор достаточно высоких, чтобы на них попадал свет солнца, еще не вышедшего из-за горизонта для наблюдателя у подножия горы. Он смог рассчитать высоту этих гор с помощью геометрического построения, похожего на то, которое использовал аль-Бируни, чтобы измерить размер Земли. Начертим треугольник, вершинами которого будут центр Луны C , вершина горы на ночной стороне Луны M , которой едва лишь коснулся первый луч солнца, а также точка на поверхности T , где тот же самый луч скользит вдоль лунной равнины до того, как осветит гору (см. рис. 18). Это прямоугольный треугольник: отрезок TM – часть прямой, касательной к поверхности Луны в точке T , поэтому он должен быть перпендикулярен отрезку CT . Длина CT равна радиусу Луны r , а TM – расстояние между горой и линией терминатора. При условии, что гора имеет высоту h , длина отрезка CM (гипотенузы треугольника) равна r + h . По теореме Пифагора получаем:

и значит,

Поскольку высота любой горы на Луне значительно меньше размера самой Луны, то членом h ² можно пренебречь и учитывать только 2 rh . Разделив обе части уравнения на 2 r ², получаем:

Так, измеряя отношение видимого расстояния вершины горы от терминатора к видимому радиусу Луны, Галилей смог найти отношение высоты горы к радиусу Луны.

Рис. 18. Способ, примененный Галилеем, чтобы определить высоту лунных гор.Сплошная горизонтальная линия со стрелкой отмечает луч солнца, который касается поверхности Луны в точке T , где проходит граница дня и ночи, а затем попадает на вершину горы M ; высота горы равна h , и она находится на расстоянии d от терминатора.

Галилей в «Звездном вестнике» писал, что иногда он наблюдал яркие точки на ночной стороне Луны на видимом расстоянии от терминатора, большем, чем 1/20 видимого диаметра Луны: для таких гор d / r > 1/10, и значит, по выведенной выше формуле h / r > (1/10)²/2=1/200. Галилей оценивал радиус Луны в 1000 миль [31], так что эти горы должны быть как минимум 5 миль (около 8 км) высотой. По неясным причинам Галилей написал «4 мили», но поскольку он лишь стремился дать оценку минимально возможной высоты горы, то мог просто поосторожничать. Галилео считал, что это больше, чем самые высокие горы на Земле, но теперь нам известно, что на Земле есть горы почти 9 км высотой, так что наблюдения Галилея показывают, что горы на Луне по высоте не очень отличаются от земных.

Галилей показал, что падающее дело движется равноускоренно, то есть его скорость увеличивается на одну и ту же величину за одинаковые промежутки времени. Сейчас мы эту закономерность выражаем так: тело, изначально находившееся в покое, спустя время t от момента начала падения приобретет скорость v , пропорциональную t :

где g – константа, которая характеризует поле силы тяжести на поверхности Земли. Хотя g несколько отличается в различных точках земной поверхности, она нигде не отклоняется значительно от 9,8 м/с за секунду.

Согласно теореме о средней скорости расстояние, которое преодолеет такое падающее тело с момента начала падения до t , будет равняться v средt , где v сред – среднее арифметическое между величиной gt и нулем, то есть vсред = gt /2. Следовательно, расстояние, проходимое за время падения, равно:

В частности, за первую секунду падения тело пролетает g (1 секунда)²/2 = 4,9 м. Время, которое требуется падающему телу, чтобы пройти заданное расстояние, в общем случае равно:

На полученный результат можно взглянуть с иной, более современной точки зрения. Полная энергия падающего тела равна сумме двух слагаемых: его кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия выражается как:

где m – масса тела. Потенциальная энергия – это произведение mg на текущую высоту (измеряемую относительно любого произвольно выбранного уровня). Поэтому если тело сбрасывается с некоторой начальной высоты h 0и проходит в падении расстояние d , то его потенциальная энергия равна: