Александр Дусавицкий - Дважды два = икс?

Ну что ж, вероятно, вполне корректный для семилетнего возраста ответ. Но попробуем задать тот же вопрос «экспериментальному» ребёнку.

– Что такое число?

– Я не знаю…

– А чем вы занимаетесь на математике, разве вы не складываете числа?

– Нет. Мы учимся сравнивать предметы – настоящие и те, которые мы нарисовали.

– Какие предметы вы сравниваете, рисуете?

– Разные: яблоки, кружки, карандаши, кубики, кружочки…

– И всё? А какие задачи вы решаете?

– Мы сравниваем предметы и определяем, разные они или одинаковые.

– Что значит разные или одинаковые?

– Зависит от того, по какому признаку мы сравниваем. Например, одинаковые по длине, но разные по весу. Мы сравниваем по цвету, по длине, по объёму, по форме, по материалу… Приходите, посмотрите, – приглашает ребёнок.

Воспользуемся приглашением и устроимся на задней парте первого экспериментального класса. Впрочем, он, скорее, напоминает отдел «Сделай сам» магазина «Пионер». Чего только там нет на столах – линейки, проволоки, кубики, кружки, пластмасса, фанера, стекло. Чтобы не ошибиться, спрашиваем у учительницы: «Мы попали на урок труда?» Нет, всё правильно, это урок математики.

Даётся задание: подойти к столу и найти предметы, одинаковые по длине, но разные по материалу. Ребёнок подходит, перебирает предметы, думает. Остальные дети, вытянув шеи, наблюдают за ним. Наконец, он берёт две кружки, приставляет их друг к другу.

– Вот, это высота. Кружки одинаковые по высоте…

По классу как будто проходит вихрь, вверх взмывает лес рук.

– Петя ошибся?

– Да! Они разные не по материалу, а по цвету, цвет у кружек разный, а материал один.

– Петя, ты согласен с этим?

– Да, я ошибся.

– А может быть, ты и по длине ошибся? Как проверить?

– Нужно приложить, чтобы кончики совпали.

– Кто согласен?

На этот раз возражений у класса нет. Учитель показывает детям две разные кружки.

– Они одинаковые по объёму?

– Первая – тонкая и большая, а вторая – толстая и невысокая. Наверное, всё-таки одинаковые. Но надо проверить, налить воду.

Проверяют…

Оказывается, широкая кружка больше.

– Как видите, на глаз нельзя определить. Теперь всем задание – нарисовать предметы, разные по цвету, но одинаковые по ширине.

Головки склоняются над тетрадями. Непослушные пальцы старательно выводят предметы, разрисовывают их цветными карандашами.

– Что вы нарисовали?

– Я нарисовал два кофейника: красный и синий.

– А я две машины: жёлтую и зелёную.

– Я – две тетради…

Следует новое задание: сравнить по форме.

И вновь масса предложений: два кубика, две ложки, два кресла.

Ещё не все ориентируются в этом изобилии признаков, которыми, оказывается, обладают знакомые предметы. Ребёнок рассматривает кружку так, как будто видит её впервые: сколько в ней интересных, новых для него свойств. Ошибаются, путают, забывают задание, но думают! Один ошибётся, другой поправит.

– Как сделать так, чтобы в тетрадке или на доске было видно, что две кружки равны по объёму?

– Надо написать, что они равны по объёму.

Такое предложение остальных детей не устраивает.

– Писать долго. Надо договориться…

– Что значит договориться?

– Значок какой-нибудь поставить…

– Какой?

– Я предлагаю точку…

– А я палочку…

– Есть такой уже значок, люди давно придумали. Две одинаковые палочки. – Учительница нарисовала знак равенства.

– Какое предложение лучше?

– Две палочки лучше.

– Почему?

– Сразу видно… Два предмета одинаковые и две палочки одинаковые.

– А если один предмет больше другого?

– Тогда нужен другой значок.

И снова дети предлагают свои варианты. Знаки «больше» или «меньше», принятые в математике, удовлетворяют всех.

– Очень хороший значок, – заявляет малыш, – как будто большая кружка подталкивает маленькую. Сразу видно, что больше, а что меньше.

Урок заканчивается, и ватага ребят шумно вырывается в коридор. Но у нас, естественно, много вопросов. Задаём первый из них: «Куда вы их ведёте всеми этими сравнениями, значками?» Учительница не спешит с ответом, она убирает наглядные пособия в шкаф. «Я думаю, наш разговор лучше вести через месяц. Приходите – сами всё поймёте».

Как раздражает нас иногда невозможность получить ответ немедленно, приглашение прийти «завтра». Но здесь не дают готовых ответов (это мы уже поняли), дети сами их находят. Тем более взрослым следует самим разобраться, понять, куда и зачем ведут их детей. И когда мы приходим через месяц-другой, становится очевидным направление пути.

На доске и в тетради уже нет кружек, яблок, машин. Их сменили буквы и линии-отрезки. Дети сами пришли к необходимости облегчить себе работу, сами предложили обозначить размеры и признаки предметов буквами. И если сначала они учились неравные предметы превращать в равные, и наоборот, так сказать, собственными руками: с помощью переливания из одной кружки в другую, то сейчас они просто пишут: А+В=С.

Первая формула их практической работы, обобщение результатов исследования реальных физических величин. В ней отображены не просто какие-то одинаковые стороны предметов, а определённые отношения – количественные. Прописными буквами они договорились обозначать целые предметы, строчными – те маленькие кусочки, которые надо к ним добавлять или отнимать.

– Прибавить кусочек, отнять кусочек…

Теперь такой разговор для них уже несерьёзен.

– От А я отнимаю В, – говорит малыш, – и получаю С.

Можно записать всё это и по-другому, графически. Например, с помощью отрезков.

А вот уже появился на доске и пресловутый алгебраический значок «икс», что означает, естественно, неизвестную величину.

– Сравните эти две величины и поставьте знак, – просит учительница. И ребёнок осознанно пишет уравнение: А+Х=В. Он уравнял величины А и В путём прибавления неизвестной величины к двум известным.

– А если их переставить местами?

– Ничего не изменится…

В чём функция икса в уравнении? Он завязывает две величины в один узел, держит их, пока разберутся, что к чему. Вот только икс не согласен всегда так их держать, а только временно, пока подберут ему достойную замену – величину, способную удерживать в равновесии всю систему.

(Мальчику Эйнштейну его дядя Якоб как-то сказал, что икс – это зверь, которого надо поймать и посадить в сумку.)

Итак, обобщённая формула – не просто формула, изображающая отношение двух величин. Это модель, которая не нуждается в том, чтобы её положили на полку памяти. С ней можно работать: узнавать основные свойства величины – обратимость, монотонность. Ребёнок анализирует отношения величин, переходит от неравенства к равенству, и наоборот. Величины – не статуэтки на пьедестале, они всё время меняются в ту или другую сторону. И чтобы их остановить, зафиксировать уровень, у ребёнка всегда есть удивительный помощник, который как бы подгоняет величины одну к другой, – уравнение.