Лэнс Фотноу - Золотой билет

У математиков тоже есть похожая игра: через совместные публикации они ищут расстояние до Пола Эрдёша – гения комбинаторики и рекордсмена по количеству публикаций [2] Мое число Эрдёша равно двум, поскольку у меня имеются совместные публикации с тремя его соавторами. В единицу оно уже вряд ли когда-нибудь превратится: Пал Эрдёш умер в 1996 году. Актерский опыт у меня отсутствует (талант, впрочем, тоже), так что мое число Бэйкона не определено. .

В Королевском технологическом решили выяснить, выполняется ли закон «шести степеней» для дружеских связей между жителями Королевства. Как проверить, существует ли цепочка из шести связей между Элис и Джорджем? Простейший способ – перебрать все существующие цепочки длины шесть. Вот только в Королевстве, насчитывающем 20000 жителей, таких цепочек может набраться 3198400279980000480000. Даже если предположить, что компьютер будет проверять триллион цепочек в секунду, на решение задачи уйдет более ста лет. Неужели нет способа получше?

Оказывается, есть. Существует совсем не сложная процедура, позволяющая быстро определить расстояние между Элис и Джорджем.

• Присвоим Элис число 0.

• Присвоим всем друзьям Элис число 1.

• Присвоим число 2 всем друзьям тех, кто получил число 1 и у кого пока еще нет числа.

• Присвоим число 3 всем друзьям тех, кто получил число 2 и у кого пока еще нет числа.

• Продолжаем до тех пор, пока Джордж не получит число.

• Число Джорджа и будет расстоянием между ним и Элис.

Подобные неформальные описания вычислительных процессов называются алгоритмами . Своим названием алгоритмы обязаны персидскому математику по имени Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми, жившему в VIII–IX веке н. э. В 825 году Аль-Хорезми написал трактат «Книга об индийском счете», благодаря которому индийская система счисления широко распространилась сначала на Востоке, а затем и в Европе. В латинском переводе книга получила название Algoritmi de numero Indorum . Имя Аль-Хорезми превратилось на латыни в Algoritmi , что в конечном итоге и привело к возникновению термина «алгоритм».

Упомянутый выше алгоритм вычисляет длину пути между Элис и Джорджем приблизительно за полмиллиона шагов. Если мы захотим найти степень отчуждения для всех пар жителей Королевства, нам потребуется средство помощнее: алгоритм Флойда – Уоршелла, который справится с задачей примерно за восемь триллионов шагов. Вам кажется, что триллион – это ужасно много? Но ведь компьютеры и сейчас уже способны выполнять миллиарды операций в секунду, так что мощные институтские процессоры вообще посчитали все за пару минут. В результате выяснилось, что средняя степень отчуждения в Королевстве чуть больше шести. При этом были найдены совершенно изолированные группы друзей, не имеющие дружеских связей с остальными жителями Королевства.

Не стоит недооценивать важность этого события. В институте, конечно, могли бы написать программу, которая методично перебирает все возможные пути, пытаясь найти минимальное количество связей между Элис и Джорджем; вот только этой программе пришлось бы проверить столько путей, что она просто не закончила бы работу за разумное время. Более эффективный алгоритм позволил вычислить степень отчуждения для Элис и Джорджа за ничтожную долю секунды, а для всех пар жителей – за каких-то две минуты.

В Королевстве заклятых друзей залог счастливых отношений – это прежде всего крепкая дружба. Правда, дружеские связи возникают совершенно бессистемно; хорошо, если вам встретился подходящий партнер, но ведь не всем так везет!

Институтские исследователи вскоре поняли, что их база может принести пользу обществу, и решили с ее помощью повысить число удачных браков. На сайте института появилось объявление о наборе 200 волонтеров: по 100 мужчин и женщин гетеросексуальной ориентации. Волонтеры откликнулись очень быстро. Теперь ученым предстояло «поженить» как можно больше участников.

Сколько вариантов должен рассмотреть каждый участник? Первому мужчине потенциально подходят 100 женщин. Когда выбор сделан, у второго мужчины остается 99 вариантов, у третьего – 98, и так далее. Итого получается 100 умножить на 99 умножить на 98 умножить на… умножить на 2 умножить на 1 – величина, называемая факториалом числа 100 и записываемая в виде «100!». Факториал числа 100 состоит из 158 цифр и намного превосходит гугол – число, изображаемое единицей со ста нулями. Термин «гугол» изобрел девятилетний племянник математика Эдварда Казнера, когда тот попросил мальчика придумать числу название.

Название компании Google призвано отражать огромный объем информации, обрабатываемый поисковыми сереверами: это искажение от «гугол» (англ. «googol»). Впрочем, отражает оно этот объем, мягко говоря, некорректно. Интернет, конечно, большой, и измерить его точно не представляется возможным, однако объем содержащейся в нем информации и близко не подходит к гуголу, какими бы мелкими единицами мы его ни измеряли. Если мы даже составим вместе все когда-либо созданные нами компьютеры, то и тогда, вне всяких сомнений, не получим гугол (и уж тем более факториал числа сто).

Однако у ученых все же оставался шанс соединить как можно больше пар, т. е. найти максимальное число паросочетаний. Для этого просто нужно было воспользоваться специальным алгоритмом. На рисунке ниже представлены несколько пар друзей.

Рис. 3.2.Потенциальные пары в Королевстве

Рис. 3.3.Паросочетания (не максимальное число)

Посмотрим, каким образом можно из друзей составить романтические пары. Начнем с Артура и соединим его с Евой. Боб и Фелисити пока одиноки; соединим их, а также Карла с Гейл. На рис. 3.4 романтические связи обозначены пунктирной линией.

Рис. 3.4.Максимальное число паросочетаний

Теперь у нас не осталось пар друзей, в которых оба были бы свободны. Может, это означает, что мы составили максимальное паросочетание? А вот и нет.

У Дэвида нет пары, однако он дружит с Фелисити, которую мы сочетали с Бобом. Боб дружит с Гейл, но чету они не образуют. Гейл соединена с Карлом, а Карл дружит с одинокой Хелен. Разлучим Боба с Фелисити и Карла с Гейл и составим новые связи. Теперь пара есть у всех!

Вернемся к рис. 3.3. Цепь из чередующихся сплошных и пунктирных линий, первый и последний элемент которой не имеет пары, т. е. не принадлежит паросочетанию, называется увеличивающим путем . При наличии увеличивающего пути мы всегда можем увеличить наше паросочетание. В 1957 году математик Клод Берж показал, что для любого паросочетания, не являющегося максимальным, существует увеличивающий путь. Программисты Королевского технологического реализовали алгоритм нахождения увеличивающих путей, основанный на методе последовательного поиска, и в результате смогли подобрать пару для 98 процентов участников эксперимента.