Лэнс Фотноу - Золотой билет

Так и выяснилось, что задача о семи мостах не имеет решения. В память об этом в игре со скипетром любой подходящий путь (а их бывает несколько) называется эйлеровым . Эйлеров путь можно искать по-разному, в том числе и простым перебором, однако при увеличении количества участников число вариантов заметно возрастает. Дети в Королевстве первым делом пересчитывают игроков с нечетным числом друзей, чтобы понять, существует ли вообще решение; если оно существует, то найти искомый путь уже не составляет особого труда. Поиск эйлерова пути – еще один пример задачи из класса P, т. е. задачи, для которой существует эффективный алгоритм.

Рис. 3.10.Передай скипетр – 2: решение есть

Постепенно дети подрастают. Играть становится все легче и легче; в конце концов «Передай скипетр» надоедает им, и тогда они начинают играть в ее вариацию, которую кто-то, не мудрствуя лукаво, окрестил «Передай скипетр – 2». Правила игры следующие:

1. Палку можно передавать только друзьям.

2. Все игроки, кроме первого, получают палку ровно один раз; в конце палка возвращается к первому игроку.

Для представленной ниже схемы дружеских связей решение может быть таким: Дэвид передает скипетр Барбаре, Барбара – Эрику, Эрик – Алексу, Алекс – Кэти, а Кэти возвращает его Дэвиду.

А вот для следующей схемы решения, как выяснилось, не существует.

Рис. 3.11.Передай скипетр – 2: решения нет

Новые правила выглядят проще. Поначалу детям даже кажется, что вторая игра легче, чем первая, однако при увеличении числа участников играть в нее становится намного сложнее. В 1857 году математик Уильям Роуэн Гамильтон изобрел головоломку «Икосиан», или «Путешествие по додекаэдру», в которой нужно было выполнить обход вершин правильного двенадцатигранника, или додекаэдра.

Рис. 3.12.«Путешествие по додекаэдру»

Эта головоломка – частный случай второй игры со скипетром. Представьте, что вершины додекаэдра соответствуют жителям Королевства, а ребра соединяют друзей, – и получите самую настоящую схему дружеских связей. Сумеете сами обойти додекаэдр и решить вторую игру со скипетром? Ответ вас ждет в конце главы.

Любой путь, удовлетворяющий условиям игры, в честь создателя головоломки называется гамильтоновым циклом .

Рис. 3.13.Додекаэдр

В Королевстве вышел новый закон: по причинам эстетического характера соседние дома должны быть выкрашены в разные цвета (независимо от того, дружат их хозяева или враждуют). Нововведение вызвало волну общественного протеста: жители не желали тратить свои кровные на краски и рабочих. В результате правительство согласилось оплатить все счета при условии, что оно само выберет цвета.

Расходы на краски предстояли огромные. Правительственные чиновники стремились минимизировать количество различных цветов, поскольку каждый сэкономленный цвет позволял сохранить миллионы долларов. Королевскому технологическому выделили грант на поиск наименьшего количества цветов, достаточного для правильной раскраски всех домов, т. е. раскраски, при которой любые два соседних дома имеют разные цвета.

Ни у кого из жителей число соседей не превышает двенадцати. При самом примитивном подходе – красить каждый следующий дом в цвет, отличный от цветов всех его соседей, – потребуется тринадцать различных цветов. Однако в институте сумели обойтись малой кровью.

Когда в 1852 году английский (а впоследствии южноафриканский) математик Франсис Гатри раскрашивал карту графств Англии, ему пришло в голову, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета таким образом, чтобы любые две смежные области получили разные цвета. Его гипотеза широко обсуждалась в математической среде; через некоторое время появились целых два доказательства: первое в 1879 году выдвинул Альфред Кемпе, второе – годом позже – Питер Тэт. Оба были опровергнуты, хотя второе продержалось одиннадцать лет, прежде чем в нем нашлись существенные изъяны. После этого проблема раскраски карт почти сто лет оставалась открытой.

Наконец, в 1976 году математики Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен сумели доказать, что для правильной раскраски хватит четырех цветов. Правда, способ доказательства был довольно спорным: для проверки многочисленных примеров, на которых строились рассуждения, ученые использовали компьютер. Консервативно настроенные математики такой метод не приняли, поскольку не все его этапы можно было проверить вручную. Впрочем, формально доказательство Аппеля–Хакена так и не было опровергнуто, и сегодня уже мало кто сомневается в том, что любую карту действительно можно правильно раскрасить в четыре цвета.

А вдруг четыре – это не предел? Можно ли обойтись всего тремя цветами? Оказывается, нельзя, и сейчас мы с вами в этом убедимся. Давайте рассмотрим штат Невада и всех его соседей.

Неваду окружает кольцо из пяти штатов: Калифорния, Орегон, Айдахо, Юта и Аризона. Пять – число нечетное, поэтому для раскраски штатов кольца потребуется не менее трех цветов. Действительно, предположим, что цветов у нас всего два, к примеру – голубой и зеленый. Покрасим Калифорнию зеленым, соседний с ней Орегон – голубым, Айдахо – зеленым, и Юту – голубым. Осталась Аризона, которая граничит и с зеленой Калифорнией, и с голубой Ютой, так что мы не можем покрасить ее ни в зеленый цвет, ни в голубой. Следовательно, для раскраски всех пяти штатов кольца нужно как минимум три цвета. Пусть Аризона будет желтой.

Рис. 3.14.Невада и ее соседи

Невада имеет общие границы со всеми перечисленными штатами, а значит, мы не можем покрасить ее ни зеленым, ни голубым, ни желтым, и для правильной раскраски требуется четвертый цвет.

На базе доказательства теоремы о четырех красках были разработаны алгоритмы, позволявшие правильно раскрашивать карты четырьмя цветами за приемлемое время. Основываясь на этих алгоритмах, в институте создали такую схему раскраски, в которой любые два соседних дома получали разные цвета. Цветов было всего четыре, однако правительство потребовало сократить их число до трех. Доказать, что это невозможно, исследователи не сумели, поскольку на всей территории Королевства не нашлось ни одного дома, окруженного нечетным числом соседей. Отвертеться от задания не удалось.