Девид Дойч - Структура реальности

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенного третьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевидна надежность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит из логической интуиции, он приводит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математическая интуиция превосходит логику. В любом случае может ли это превосходство быть самоочевидным?

Но все это направлено на критику интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что для него очевидно самосогласованное высказывание, как если бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать его неправоту невозможно. Однако, как и в случае с солипсизмом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его всерьез принимают, на его же собственной основе, в качестве объяснения своего собственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты верят в реальность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3. ... , и даже 10949769651859. Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из этих чисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную последовательность, Интуиционисты считают не более чем самообманом или искусственностью и буквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и интуицией, что первоначально эти числа должны были быть формализованы, интуиционисты также сами отрицают обычную объяснительную структуру, через которую понимают натуральные числа. Это вызывает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив для натуральных чисел альтернативную или более глубокую объяснительную структуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он еще дальше уходит от объяснений. Он вводит дальнейшие необъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенного третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается с мотивации упрощения пугающе разнообразного и неопределенного мира, но при серьезном к нему отношении оказывается реализмом в сочетании с несколькими ненужными усложнениями, так и интуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.

Дэвид Гильберт предложил гораздо более разумный – хотя, в конечном счете, и обреченный – план «раз и навсегда ввести убежденность в математических методах». План Гильберта основывался на идее согласованности. Он надеялся составить полный набор современных правил вывода математических доказательств с определенными свойствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобы определить, удовлетворяет ли им какое-то предложенное доказательство, не составляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы эти правила были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при условии, что он мог бы быть уверен в их самосогласованности. То есть, если правила определили данное доказательство как обоснованное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как обоснованное любое другое доказательство с противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом? На этот раз согласованность должна была быть дока зана с помощью метода доказательства, который сам придерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт надеялся восстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также надеялся, что с помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое истинное математическое утверждение и не будет доказуемо любое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала века Гильберт опубликовал список задач, которые, как он надеялся, математики смогут решить в двадцатом веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности в соответствии с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережить разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гедель создал революционную теорию доказательства с коренным опровержением, которая до сих пор является отправной точкой для математического и физического миров: он доказал, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гедель доказал, что любой набор правил вывода, способный правильно обосновать даже доказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной согласованности. Следовательно, нечего и надеяться найти доказуемо согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых, Гедель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является согласованным (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснованные методы доказательства, которые эти правила не могут определить как обоснованные. Это называется теоремой Геделя о неполноте. Для доказательства своих теорем Гедель пользовался замечательным расширением «диагонального доказательства» Кантора, о котором я упоминал в главе 6. Он начал с рассмотрения любого согласованного набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, это было бы плохой новостью для концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило бы необходимость понимания при критике математических идей. Кто угодно – или какая угодно неразумная машина, – способный выучить наизусть правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы так же хорошо оценивать математические высказывания, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом понимании или даже не имея самого отдаленного понятия о смысле этого высказывания. В принципе, было бы возможно делать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не удовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либо знаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы уладить любое разногласие в математике, даже не понимая его смысла – даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чем заключается метод доказательства, или почему оно надежно.