Йэн Стюарт - Математика космоса [Как современная наука расшифровывает Вселенную]

Преследуемая целой флотилией межзвездных военных кораблей, стреляющих испепеляющими молниями чистой энергии, небольшая группа храбрых борцов за свободу ищет укрытия в поясе астероидов; их кораблик дико мечется в плотном потоке крутящихся валунов размером с Манхэттен, которые то и дело врезаются друг в друга. Крейсеры преследуют их, испаряя небольшие камни лучами своих лазеров и получая в борт целый дождь небольших осколков. Хитрым маневром уходящий от погони кораблик закладывает петлю, ложится на обратный курс и ныряет в глубокий туннель в центре случайно подвернувшегося кратера. Но приключения героев только начинаются…

Захватывающее кинематографическое зрелище.

И к тому же полная чепуха. Нет, я говорю не о флотилии военных кораблей, не о молниях энергетических зарядов и не о галактических повстанцах. Я даже не имею в виду чудовищного червя, притаившегося в конце туннеля. Все это может когда-нибудь произойти. Я имею в виду бурный поток крутящихся камней. Этого не может быть никогда.

Мне кажется, все дело здесь в неудачной метафоре. Пояс.

Когда-то давно в Солнечной системе, как ее тогда понимали, не было пояса. Вместо него был загадочный пропуск. Согласно закону Тициуса — Боде, между Марсом и Юпитером, по идее, должна была бы находиться планета, но планеты там нет. Если бы она была там когда-нибудь, древние ее непременно заметили бы и связали с ней еще кого-нибудь из своих богов.

Уран, когда он был открыт, так аккуратно вписался в математическое правило закона Тициуса — Боде, что астрономы с новым энтузиазмом принялись искать что-нибудь в промежутке между Марсом и Юпитером, надеясь заполнить и его. Как мы видели в предыдущей главе, им это удалось. Барон Франц Ксавер фон Цах в 1800 году основал Объединенное астрономическое общество (Vereinigte Astronomische Gesellschaft), в которое вошло 25 человек — среди них Маскелайн, Шарль Мессье, Уильям Гершель и Генрих Ольберс. Поскольку свою деятельность эта группа посвятила в основном упорядочению непослушной Солнечной системы, ее окрестили Небесной полицией (Himmelspolizei). Каждому наблюдателю был выделен 15-градусный сектор эклиптики и поставлена задача поиска в этой области недостающей планеты.

Как часто бывает, весь этот систематический и организованный подход перевесила удача, выпавшая на долю астронома, не вошедшего в круг избранных, — Джузеппе Пиацци, профессора астрономии в Университете Палермо на Сицилии. Он не занимался поисками планеты; он искал звезду, «87-й номер в каталоге господина Лакайля». В самом начале 1801 года возле искомой звезды он заметил еще одну световую точку, на которую в существующих звездных каталогах не нашлось никакой информации. Продолжая наблюдать за непрошеным гостем, Пиацци обнаружил, что эта светящаяся точка движется. Открытый им объект находился в точности там, где закон Тициуса — Боде предписывал искать недостающую планету. Пиацци назвал новое небесное тело Церерой — в честь римской богини плодородия, которая считалась также покровительницей Сицилии. Поначалу он думал, что открыл новую комету, но объекту недоставало характерного хвоста. «Мне несколько раз приходило в голову, что это могло бы оказаться что-то получше, чем комета», — писал он, имея в виду, естественно, планету.

По планетарным масштабам Церера довольно мала, и астрономы чуть не потеряли ее снова. Информации об ее орбите было очень мало, и, прежде чем астрономы успели провести дополнительные измерения, движение Земли привело направление на новое тело слишком близко к Солнцу, так что его слабый свет потерялся в сиянии светила. Ожидалось, что новооткрытое тело вновь появится на небосводе через несколько месяцев, но наблюдений было так мало, что было совершенно неясно, где его следует искать. Не желая начинать поиски заново, астрономы попросили у научного сообщества более надежное предсказание. На призыв ответил сравнительно малоизвестный тогда публике Карл Фридрих Гаусс. Он придумал новый способ вычисления орбиты по трем и более наблюдениям, известный сегодня как метод Гаусса. Когда Церера дисциплинированно появилась всего в полуградусе от предсказанной им позиции, Гаусс приобрел прочную репутацию великого математика. В 1807 году он был назначен профессором астрономии и директором обсерватории в Гёттингенском университете, где и проработал до конца жизни.

Чтобы предсказать, где должна будет появиться Церера, Гаусс придумал несколько весьма действенных численных приемов аппроксимации. Среди них был и некий вариант алгоритма, который мы сегодня называем быстрым преобразованием Фурье; его заново открыли в 1965 году Джеймс Кули и Джон Тьюки. Идеи Гаусса на эту тему были обнаружены среди неопубликованных бумаг и появились на свет уже после смерти ученого в его собрании сочинений. Он рассматривал этот метод как форму тригонометрической интерполяции, при которой новые точки вставляются между существующими (измеренными) точками на графике таким образом, чтобы получалась гладкая кривая. Сегодня этот — один из важнейших — алгоритм обработки сигналов используется в медицинских сканерах и цифровых камерах. Такова сила математики и то, что физик Юджин Вигнер назвал ее «чрезмерной эффективностью» [33] Фразу Вигнера часто понимают неверно. Эффективность математики объяснить нетрудно. Значительная часть математики мотивируется реальными задачами, поэтому нет ничего удивительного в том, что она решает эти задачи. Важное слово в высказывании Вигнера — «чрезмерная». Он имел в виду, что математические приемы, придуманные для одной цели, часто оказываются полезными в совершенно иных, неожиданных областях. В качестве простого примера можно вспомнить древнегреческую геометрию конических сечений, объявившихся вдруг две тысячи лет спустя в орбитах планет, или модные в эпоху Возрождения рассуждения о мнимых числах, без которых сегодня не может существовать ни физика, ни инженерное дело. Это широко распространенное в математике явление так просто не объяснишь. .

Развивая свой успех, Гаусс разработал универсальную теорию движения небольших астероидов под возмущающим действием больших планет и опубликовал ее в 1809 году в работе Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum («Теория движения небесных тел, движущихся в конических сечениях вокруг Солнца»). В этой работе Гаусс отточил и улучшил статистический метод, предложенный Лежандром в 1805 году и известный нам сейчас как метод наименьших квадратов. Он объявил также: ему первому еще в 1795 году пришла в голову эта идея, но (что очень типично для Гаусса) он не стал ее публиковать. Этот метод используется для получения более точных величин по серии измерений, в каждом из которых присутствует случайная ошибка. В простейшей своей форме этот метод выбирает величину, минимизирующую суммарную ошибку. Более хитроумные варианты используются для построения прямой, которая наилучшим образом согласуется с имеющимися данными о зависимости между двумя переменными, или решают аналогичные вопросы для многих переменных. Статистика пользуется такими методами ежедневно.