Александр Китайгородский - Физика для всех. Книга 1. Физические тела

S= v 0 t+ a∙ t 2/2,

или, если движение происходит без начальной скорости,

S= a∙ t 2/2

Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4 x 5) м, за три секунды — (9 x 5)м и т. д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.

По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g , и формула приобретает такой вид:

S= (981/2)∙ t 2

если t подставить в секундах, a g в сантиметрах на секунду в квадрате.

Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 с, то оно прошло бы с начала падения громадный путь — около 50 км. При этом за первые 10 с будет пройдено всего лишь 0,5 км — вот что значит ускоренное движение.

Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S= 1/ 2( v 0+ v)/ tзначение времени движения t= ( v— v 0)/ aполучим:

S= (1/2 a)∙( v 2— v 0 2),

или, если начальная скорость равна нулю,

S= v 2/2 a, v= √(2 aS)

Десять метров — это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = √(2∙9,8∙10) м/с = 14 м/с ~= 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.

Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.

Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Лупе.

В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с 2).

Написанные формулы позволяют быстро подсчитать лунные «чудеса».

Прыжок с высоты h длится время t= √(2 h/ g). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в √6 ~= 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка ( v= √(2 g∙ h))?

На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, сделанного с той же начальной скоростью (формула h= v 2/2 g). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.

Задача бросить предмет как можно дальше решается человеком с незапамятных времен. Камень, брошенный рукой или выпущенный из рогатки, стрела, вылетевшая из лука, ружейная пуля, артиллерийский снаряд, баллистическая ракета — вот краткий перечень успехов в этой области.

Брошенный предмет движется по кривой линии, называемой параболой. Ее можно построить без труда, если движение брошенного тела рассматривать как сумму двух движений — по горизонтали и по вертикали, происходящих одновременно и независимо. Ускорение свободного падения вертикально, поэтому летящая пуля движется по горизонтали по инерции с постоянной скоростью и одновременно по вертикали с постоянным ускорением падает на Землю. Как же сложить эти два движения?

Начнем с простого случая — начальная скорость горизонтальна (скажем, речь идет о выстреле из ружья, ствол которого горизонтален).

Возьмем лист миллиметровой бумаги и проведем вертикальную и горизонтальную лилии (рис. 2.3).

Так как оба движения происходят независимо, то через t секунд тело переместится на отрезок v 0 t вправо и на отрезок gt 2/2 вниз. Отложим по горизонтали отрезок v 0 t и из конца его — вертикальный отрезок gt 2/2. Конец вертикального отрезка укажет точку, в которой окажется тело через t секунд.

Это построение надо сделать для нескольких точек, т. е. для нескольких моментов времени. Через эти точки пройдет плавная кривая — парабола, изображающая траекторию тела. Чем чаще будут отложены точки, тем точнее будет построена траектория полета пули.

На рис. 2.4 построена траектория для случая, когда начальная скорость v 0направлена под углом.

Вектор v 0следует прежде всего разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. На горизонтальной линии будем откладывать v гор∙ t — путь, на который сдвинется пуля вдоль горизонтали через t секунд.

Но пуля совершает одновременно движение вверх. Через t секунд она поднимется на высоту h= v верт∙ t— gt 2/2.

По этой формуле, подставляя в нее интересующие вас моменты времени, надо рассчитать вертикальные смещения и отложить их на вертикальной оси. Сначала величины h будут возрастать (подъем), а затем убывать.

Теперь остается нанести на график точки траектории так же, как мы это сделали в предыдущем примере, и провести через них плавную кривую.

Если держать ствол ружья горизонтально, то пуля быстро зароется в землю; при вертикальном положении стола она упадет на то место, откуда был произведен выстрел. Значит, чтобы стрелять как можно дальше, нужно ствол ружья установить под каким-то углом к горизонту. Но под каким?

Используем опять тот же прием — разложим вектор начальной скорости на две составляющие; по вертикали скорость равна v 1, а по горизонтали — v 2. Время от момента выстрела до момента достижения пулей наивысшей точки пути равно v 1/ g . Обратим внимание на то, что столько же времени пуля будет падать вниз, т. е. полное время полета до падения пули на землю есть 2 v 1/ g .

Так как движение по горизонтали равномерное, то дальность полета равна

S= 2∙ v 1∙ v 2/ g

(при этом мы пренебрегли высотой ружья над уровнем земли).

Мы получили формулу, которая показывает, что дальность полета пропорциональна произведению составляющих скорости. При каком же направлении выстрела это произведение будет наибольшим? На этот вопрос ответит все то же геометрическое правило сложения векторов. Скорости v 1и v 2образуют прямоугольник скоростей; диагональю в нем служит полная скорость v . Произведение v 1∙ v 2равно площади этого прямоугольника.

Наш вопрос сводится к следующему: при заданной длине диагонали какие надо взять стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? В геометрии показывается, что этому условию удовлетворяет квадрат. Значит, дальность полета пули будет наибольшей, когда v 1= v 2, т. е. тогда, когда прямоугольник скоростей обращается в квадрат. Диагональ квадрата скоростей образует с горизонталью угол в 45° — под таким углом и надо держать ружье, чтобы пуля летела как можно дальше.