Олег Спиридонов - Людвиг Больцман: Жизнь гения физики и трагедия творца

Максимум W Больцман ищет для ее логарифма:

Так как N∙lnN — величина постоянная для данной системы, то задача сводится к отысканию максимума выражения

Если учесть, что

где f — функция распределения частиц по энергиям, то последнее выражение можно переписать в виде

или (при ε → 0) в интегральной форме

Находя максимум этого выражения в сочетании с условиями (*) и (**), Больцман показал, что наиболее вероятному состоянию газа соответствует равновесная функция распределения (12). Выражение для ln W с точностью до постоянной равно ранее введенной величине H, взятой с обратным знаком. Поскольку H, как мы уже знаем, пропорциональна энтропии идеального газа, Больцман пришел к выводу, имеющему громадное физическое значение: энтропия системы S пропорциональна логарифму термодинамической вероятности данной системы:

Полученные Больцманом результаты имеют фундаментальное значение. Приближение газа к состоянию с максимальной энтропией есть не что иное, как переход газа из состояния с малой вероятностью в наиболее вероятное состояние. Энтропия имеет вероятностную, статистическую природу. Предельно четко и уверенно пишет об этом сам Больцман: «второе начало оказывается, таким образом, вероятностным законом».

Он предлагает новую редакцию второго закона термодинамики:

«…в большей части явлений природы, обнимающих огромное число материальных точек, всякое изменение системы, которое может произойти само собой (без компенсации), есть переход от менее вероятного состояния к более вероятному состоянию».

Больцманом получен поистине удивительный результат — величины совершенно различной природы — энтропия и вероятность — оказались связанными друг с другом. Энтропия S — физическая величина, характеризующая состояние тела, в то время как вероятность W была до сих пор понятием чисто математическим. Выводы Больцмана носили дерзкий, новаторский характер, он сделал попытку с помощью математики проникнуть в невидимый и загадочный микромир. При этом второй закон термодинамики утратил свою абсолютную достоверность. Из категории непогрешимых, жестоко определенных законов, дающих при их применении однозначный результат, он переводится в ранг вероятностных законов. Сразу же возникают вопросы. В какой мере явления, описываемые им, достоверны? Все знают, что вероятность какого-либо события может быть сколь угодно малой или, напротив, сколь угодно большой. В последнем случае можно говорить о практической (!) справедливости закона, но и это не снимает остроты вопроса. Даже если закон верен в 999 999 случаях из 1 000 000, то и тогда есть 1 шанс из 1 000 000, что закон будет нарушен. Но вправе ли мы называть его тогда законом? Как можно смириться с тем, что природа — а второй закон описывает явления природы — допускает и проявления случайности? И хотя вероятность, равная 0,999999, означает практическую достоверность закона, между полной определенностью и сколь угодно большой вероятностью зияет непроходимая пропасть.

Физикам XIX столетия, чье мировоззрение было воспитано на дающих однозначный результат строгих динамических законах ньютоновской механики, пришлось столкнуться с вопросом о том, каков же действительный характер физических законов. Это означало возрождение древнего спора о причинах развития между Демокритом и Эпикуром, о котором мы говорили в первой части книги. Однако теперь этот спор велся на принципиально ином уровне. Физики теперь уже были вооружены суммой накопленных веками экспериментальных и теоретических знаний.

Ценность работы Больцмана «Об отношении второго начала механической теории теплоты и исчисления вероятностей в соответствии с теоремами о тепловом равновесии» (1877) заключается прежде всего в том, что в ней ясно ощущается «необходимость при сколько-нибудь серьезном исследовании доводить дело до такой ступени, когда выступает наружу действительная цепь причин и следствий» (К. А. Тимирязев). Благодаря своей связи с вероятностью закон возрастания энтропии перестал быть достоверным, что на первый взгляд плохо, но именно благодаря этой связи он гораздо больше приобрел в тонкости, чем проиграл в строгости. Понимание того, что возрастание энтропии есть переход системы из менее вероятных состояний в более вероятные, открыло новую грань столь важного физического понятия, как энтропия. В отличие от прежней, описательной термодинамики, игнорирующей внутреннюю структуру термодинамических систем, физика стала приходить к пониманию того, что всякая система представляет собой целый мир, населенный огромным числом частиц. Взаимодействия частиц между собой переводят систему в равновесное состояние, которое оказывается теперь и наиболее вероятным. Отклонение энтропии от ее максимальной величины означает, что система еще не пришла в состояние равновесия.

Существование статистических законов говорит о том, что системы, состоящие из огромного числа индивидуальных частиц, «живут» своей особой жизнью, характеризуются новыми параметрами, которых нет у отдельной частицы. В самом деле, можно ли говорить об отдельной частице, что она не находится в состоянии равновесия? Важно подчеркнуть, что связь между параметрами системы в целом носит однонаправленный характер, она определяет только будущее системы, а не прошлое. Газ с течением времени может перейти из неравновесного состояния только в равновесное, другая возможность принципиально исключается природой. В этом и состоит причина однонаправленного изменения энтропии. Существует громадная качественная разница между выводами, получаемыми на основе однозначных динамических законов и статистических, вероятностных законов. Первые являются законами сохранения (энергии, массы, импульса и т.д.), закономерности второго типа появляются тогда, когда речь идет об исследовании изменений, и здесь наука — вслед за природой! — вынуждена обращаться к вероятностному описанию. Сами законы не дают однозначных предсказаний, но приобретают новое свойство: они указывают направленность протекающих процессов.