Тибо Дамур - Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн

Можно заметить, что предложенное Эйнштейном в 1906 г. уравнение для квантования энергии материи, E = nhf , где n – целое число ( n = 0, 1, 2, 3, … ), сильно напоминает уравнение, предложенное годом раньше для энергии световых квантов. Однако оно имеет другой физический смысл (который также отличается от физического смысла «элементов энергии», предложенных Планком в 1900 г.). Здесь E обозначает энергию материальной системы (массу, прикрепленную к пружине), а f задает частоту колебания этой массы. В полном противоречии с законами ньютоновской механики (а также их «релятивистской» модификацией, построенной на базе теории относительности), согласно которым масса, прикрепленная к пружине, может колебаться с произвольной амплитудой и, таким образом, произвольной энергией, Эйнштейн взял на себя смелость утверждать, что энергия колебаний пружины может принимать лишь дискретные значения из ряда 0, hf , 2 hf, … , исключая какие-либо промежуточные значения. Хотя эта идея была не менее революционной, нежели гипотеза существования световых квантов, физическое сообщество приняло ее значительно быстрее. Первым это сделал Планк примерно в 1908 г. Необходимо отметить, что эта гипотеза, хотя и противоречила ньютоновской механике, не имела жестких противоречий с хорошо известными экспериментальными фактами. Численное значение постоянной h было весьма мало, в результате чего в лабораторных условиях не удавалось обнаружить квантование энергии обычного (т. е. макроскопического) механического осциллятора. Гипотеза световых квантов, как казалось, находится в сильнейшем противоречии со многими экспериментальными проверками, подтверждавшими волновую природу света (хотя еще в 1905 г. Эйнштейн указывал на то, что оптические лабораторные измерения оперируют лишь средними величинами и поэтому, в принципе, могут объясняться в рамках корпускулярной теории света).

Берн, Швейцария, ноябрь 1906 г.

В конце 1906 г. Эйнштейн все еще работал в патентном бюро и поэтому по-прежнему мог посвящать лишь немного свободного времени физике. Тем не менее у него было решающее преимущество перед большинством физиков – он был единственным, кто по-настоящему верил в квантование энергии материи. Это в некоторой степени компенсировало ему недостаток времени и давало возможность спокойно думать о всевозможных последствиях явления квантования не только в контексте излучения черного тела, но и других физических систем. Возможно, он вспомнил загадочные экспериментальные результаты, которые были получены среди прочего его профессором физики в Политехническом институте в Цюрихе. Генрих Вебер изучал «удельную теплоемкость» некоторых твердых тел и, в частности, алмазов. «Теплоемкостью» тела называется количество теплоты, которое необходимо сообщить этому телу для того, чтобы повысить его температуру на один градус Цельсия. Конечно, это величина пропорциональна массе рассматриваемого тела. Поэтому полезно рассматривать теплоемкость некоторого образца тела, содержащего определенное количество атомов (скажем, 6,022 × 10²³, которое называется «число Авогадро»). Мы будем называть эту последнюю величину «удельной теплоемкостью» рассматриваемого твердого тела.

В 1819 г. французские физики Пьер Дюлонг и Алексис Пти сделали поразительное открытие. Они обнаружили, что удельная теплоемкость большого количества простых элементов всегда одна и та же! Она равна примерно 6 калориям на один градус (и на один моль). Эта замечательная универсальность теплоемкости (простых) твердых тел нашла теоретическое объяснение 50 лет спустя в работах Людвига Больцмана. Объяснение Больцмана было основано на его последних результатах, касающихся статистической интерпретации теплоты. По сути, Больцман интерпретировал теплоту твердых тел как энергию вибрации каждого отдельного атома вокруг положения равновесия. В своих расчетах 1876 г., сделанных на основе предложенной им ранее статистической теории, он вывел зависимость между энергией вибрации и температурой тела, полностью согласующуюся с результатами Дюлонга и Пти {122}.

Однако в 1876 г. было обнаружено, что некоторые твердые тела имели значительно меньшую удельную теплоемкость, чем 6 калорий на один градус. Это, в частности, относилось к бору, кремнию и алмазу (или графиту, который так же, как и алмаз, состоит из атомов углерода). В 1875 г. Вебер значительно прояснил данный вопрос, показав, что эти три исключения «возвращаются в общий ряд» при высоких температурах. Он экспериментально установил, что удельная теплоемкость зависит от температуры тела и, когда температура становится достаточно большой, приближается к тому самому простому универсальному значению, которое указывали Дюлонг и Пти. Тем не менее оставалось непонятным, почему при уменьшении температуры удельная теплоемкость этих трех материалов становится гораздо меньше, чем 6 калорий на один градус, предсказанных на основании «классической» статистической физики. [Здесь под классической подразумевается физика в том виде, как она виделась до квантовой революции.] В особенности это касалось алмаза, теплоемкость которого принимала значение порядка 1,4 уже при обычных температурах окружающей среды. Иными словами, речь шла о новом явлении, возникающем не только при очень низких температурах.

В ноябре 1906 г. Эйнштейн понял, что идея квантования энергии колебаний механического осциллятора, которую он предложил в марте, служит ключом к решению указанной проблемы. Основная физическая причина состояла в следующем. Согласно Больцману, теплота твердого тела представлялась как энергия колебаний его атомов около положения равновесия. Точный расчет, выполненный Больцманом, предполагал, что эта колебательная энергия может непрерывно меняться от нуля до бесконечности. Из этого он заключал, что энергия вибрации при некоторой температуре T должна быть пропорциональна абсолютной величине T . Эйнштейн воспроизвел те же расчеты, но наложил дополнительное требование – энергия колебания каждого атома, осциллирующего с частотой f , должна принимать только квантованные значения 0, hf , 2 hf , 3 hf… Тогда он обнаружил, что удельная теплоемкость, равная нулю при очень низких температурах, постепенно возрастает и в конечном счете принимает значение, предсказанное Больцманом, в тот момент, когда энергия теплового движения атомов становится значительно больше чем E = hf. Интуитивно можно понять этот результат Эйнштейна, представляя теплоту окружающего воздуха как силу воздействия, а каждый атом – ребенком на качелях. Если амплитуда колебаний качелей не может непрерывно возрастать от нуля, а может лишь «перепрыгивать» с нулевой амплитуды на первую ненулевую амплитуду «возбуждения», затем на вторую, еще более высокую, и т. д., то слишком слабая сила воздействия будет недостаточна, чтобы совершить первый перескок, и ребенок останется в самом нижнем энергетическом состоянии, т. е. с нулевой энергией возбуждения {123}.