Нурбей Гулиа - Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах

Рис. 8. Силы, действующие на тела во вращающейся системе: а – силы, действующие на вращающуюся по окружности точку А и опору О; б – силы, действующие на связь.

В некоторых учебниках, например, для школ с углубленным изучением физики [26, с.254] специально выделено, что «центробежные силы инерции действуют не на все тела на поверхности Земли». Такая формулировка означает, что центробежные силы существуют и действуют на некоторые тела. Разумеется, это неверно.

3.4. Вопрос. Почему при быстром вращении тела оно испытывает механические напряжения и может даже разрушиться, ведь никакое другое тело с ним не контактирует, на него не действуют никакие силовые поля и т. д.?

Ответ. Действительно, если опыт по вращению, допустим, металлического кольца поставить в невесомости и в вакууме, то с этим телом не будет взаимодействовать никакое другое тело, даже воздух. Разогнать это кольцо можно вращающимся электромагнитным полем (например, возникающим в статоре асинхронного электродвигателя), особенно если кольцо стальное. После окончания разгона свободно вращающееся с угловой скоростью ? кольцо будет обладать кинетической энергией Е:

и будет растягиваться механическим напряжением ?:

где I – осевой момент инерции кольца;

? – плотность материала кольца;

v – линейная скорость кольца.

Чем же вызвано это напряжение? Выше мы видели, что на связь – нить (см. рис. 8, а, б) действуют растягивающие усилия, вызываемые точкой А, вращающейся вокруг опоры О. Ведь именно связь, действуя на точку А центростремительной силой Fц , постоянно сворачивает ее с естественного прямолинейного пути. В этом случае масса (точка А) и связь (невесомая нить) четко выделены. Но если точку А устранить, вместо нити взять массивное тело – стержень или цепь – и вращать его вокруг точки О, то картина усложнится.

В таких случаях, когда связь сама обладает массой, удобно представить ее в виде невесомой связи (нити), нагруженной отдельными массивными точками (рис. 9).

Рис. 9. Невесомая связь – нить, нагруженная точечными массами.

Если число точек невелико, центростремительные силы, действующие на эти точки, легко определить: в точке 1 это Fц1 , B точке 2 – сумма двух сил (Fц1 + Fц2) , а в точке 3 она максимальна – сумма трех сил (Fц1 + Fц2 + Fц3). Отсюда легко перейти к случаю, когда масса распределена по длине связи равномерно.

Так и с вращающимся кольцом – если представить, что его заменяет многоугольник из невесомых нитей с помещенными в вершинах углов грузами т (рис. 10, а), то выделив один из грузов (рис. 10, б), можем определить силы Fсв, действующие на груз (их реакции действуют на нить):

где Fц = m?2R или mv2/R, что следует из формулы (2.4).

Распределив грузы т по нити равномерно, получим массивное кольцо плотностью ?, обладающее прочностью связи (рис. 11). Для простоты вычислений отбросим нижнюю половину кольца и обозначим через F растягивающие усилия, действующие с его стороны на верхнее полукольцо. Учитывая, что центр масс верхнего полукольца С расположен на расстоянии 2R/? вверх от центра О, нормальное ускорение этого центра масс:

Записываем второй закон Ньютона в проекции на направление нормального ускорения:

Учитывая, что напряжения ? = F/S, где S – площадь сечения кольца, масса полукольца М = ?? RS, и что линейная скорость v = ? R, записываем с учетом (3.6):

Таким образом, получаем формулу (3.3).

Следовательно, вращающееся кольцо будет растягиваться с силой F и напряжениями ? даже без контакта с каким-нибудь другим телом. Аналогичным образом возникают напряжения во вращающихся телах любой конфигурации, например, в движущихся гибких массивных замкнутых связях – ремнях, цепях, а также маховиках – накопителях кинетической энергии.

Рис. 10. Схематичное представление вращающегося кольца: а – замкнутый вращающийся многоугольник с помещенными в вершинах углов точечными массами; б – силы, действующие на отдельный груз.

Рис. 11. Схема для определения напряжений во вращающемся кольце.

3.5. Вопрос. Как накопить во вращающемся маховике наибольшую кинетическую энергию?

Ответ. Кинетическая энергия вращающегося тонкого кольца массой т, как и для прямолинейно движущейся массы, пропорциональна квадрату его линейной (окружной) скорости:

Ведь и в том и в другом случаях масса т движется с одной и той же скоростью v. Разница лишь в том, что в случае прямолинейного движения в движущемся теле не возникает никаких напряжений, а при вращении кольца (как и ремня, цепи, любой плоской массивной замкнутой связи), в нем возникают напряжения, не зависящие от радиуса кольца и определяемые формулой (3.3). Следовательно, в прямолинейно движущейся массе можно беспредельно (в рамках классической механики) повышать скорость и кинетическую энергию. Во вращающейся же массе, в данном случае кольце, мы жестко лимитированы прочностью материала, причем и кинетическая энергия и напряжения в материале пропорциональны квадрату окружной скорости.

А если это будет не кольцо, а тело иной формы? Удастся ли при той же прочности материала накопить большую кинетическую энергию? Для анализа этого вопроса удобнее всего выразить энергию и прочность через удельные показатели – удельную энергоемкость е = Е/т и удельную прочность х = ?/?. Тогда для маховика в виде вращающегося кольца: