Нурбей Гулиа - Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах

Поэтому когда в вопросе фигурируют время и скорость, ученикам следует помнить: эти параметры обратно пропорциональны друг другу, а ответ на подобные вопросы следует подкрепить расчетами.

Если скорость реки vp , катера – vk, длина пути – х, то время прохождения пути туда и обратно в реке:

а в озере:

Разница между продолжительностью пути по реке и по озеру:

Рассмотрим ряд случаев, которые могут встретиться при решении задачи.

1. vp = 0; тогда второй сомножитель в (4.3) обращается в нуль и ? t = 0; время в пути по реке tp будет равно времени в пути по озеру tоз.

2. vк = vр ; тогда второй сомножитель стремится в бесконечность и ? t ? ?. Катер назад не вернется. Не вернется он назад и в том случае, если vр > vк. При этом из (4.1) видно, что время возвращения катера назад (второе слагаемое) отрицательно, чего не бывает.

3. vк ? ? (какой-нибудь сверхскоростной скутер!); второй сомножитель и ? t стремятся к нулю. При большой разнице в скоростях vк и vр, tр ненамного превосходит tоз.

4. В любом случае, когда vк > vр, ?t > 0 и, стало быть, tр > tоз.

Вот к каким разнообразным, а для кого-то из учеников и неожиданным результатам приводит анализ, казалось бы, простейшей задачки.

К слову, все сказанное легко проверить и без заплывов по воде. На эскалаторе метро или движущемся тротуаре (желательно коротких, чтобы физически можно было пройти этот участок против движения) нетрудно поставить эксперимент по существу решенной нами задачи.

4.2. Вопрос. Как, используя простые технические средства, например трос, получить весьма большие силы, необходимые для вытаскивания завязшего автомобиля?

Ответ. Лучше, если трос будет металлическим, т. е. по возможности малорастяжимым. Подойдет и прочная металлическая цепь. Трос, цепь или аналогичная гибкая связь должна быть достаточно длинной – необходимость этого будет понятна из постановки опыта (рис. 14).

Рис. 14. Схема опыта с натянутым тросом.

Закрепим один конец троса на предмете, который хотим вытащить, например, на крюке А автомобиля. Другой конец троса фиксируем на явно прочной опоре В – толстом дереве, пне, крюке в стене и т. д. Натягиваем трос как можно сильнее, затем беремся за середину его и рывком тянем в поперечном направлении (стрелка на рис. 14). Если угол между прямой АВ и тросом равен ?, то усилие Т в тросе, действующее на крюк А, равно:

где sin ? ? ? при малых значениях угла ?. Если длина троса, например, 50 м, а мы поперечной силой F оттянули его от первоначального направления на 0,5 м, то угол ? равен 0,5/25, т. е. 0,02 радиана или около 1 градуса. Тогда, если сила F была равна 200 Н, что не так уж много, то усилие Т составит около 5 кН. Такой силой можно вытащить завязший легковой автомобиль без помощи трактора. Для практических целей напомним, что после каждого движения автомобиля вперед, нужно подкладывать под колеса упоры (бревна, камни и т. д.), чтобы автомобиль не откатился назад, а трос необходимо снова натянуть для последующего нового рывка.

Этим же объясняется то, что гитарист может достаточно легко порвать натянутую струну, если будет оттягивать ее за середину вбок даже с небольшой силой. Попробовал бы он порвать ее, просто растягивая руками!

4.3. Вопрос. Человек начал взбираться по приставной лестнице, и она пока не отъезжает от стены. Есть ли гарантия, что лестница не отъедет, когда человек поднимется еще выше?

Ответ. Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться понятием угла трения ?, связанного с коэффициентом трения/следующим соотношением:

Пояснить роль угла трения можно следующем примером. Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р, образующую угол ? с нормалью (рис. 15), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие P sin ? будет больше Pfcos ? :

Никакой силой, образующей с нормалью угол ?, меньший угла трения ?, нельзя сдвинуть тело по данной поверхности.

Рис. 15. Схема к определению угла трения.

А теперь перейдем к сути нашего вопроса. Лестница прислонена к стене под углом ? (рис. 16).

Рис. 16. Схема сил, действующих на приставную лестницу.

В предельном равновесном положении на лестницу действуют реакции RA и RB пола и стены, отклоненные за счет шероховатости поверхности от нормалей к этим плоскостям на угол трения ?. Материалы стены и пола в первом приближении считаем одинаковыми, чтобы иметь одинаковый угол трения ср. Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р, равная весу человека, тоже должна пройти через эту точку К. Ведь известно, что если свободное тело (например, наша лестница, где действие пола и стены заменены силами RA и RB) находится в равновесии под действием трех непараллельных сил в одной плоскости, то силы эти пересекаются в одной точке (это известная в механике «Теорема о трех силах»). Действительно, если бы эти силы не пересекались в одной точке, то тело, попросту говоря, завертелось бы от образовавшегося момента.

Поэтому можно сказать, что человек выше точки D (см. рис. 16) подняться не может – лестница отъедет от стены, и человек упадет вместе с нею. Обиднее и больнее всего для падающего, когда эта точка D находится на самом верху лестницы.

Следовательно, человек может подняться до конца лестницы только тогда, когда она образует со стеной угол ? < ?. А уж этот угол можно определить из формулы (4.5), зная коэффициент трения опорной поверхности лестницы о пол. Здесь существует очень коварное заблуждение – если лестница сама не падает, то, якобы, не упадет она и с человеком. Это не так – ведь центр тяжести самой лестницы находится практически посреди нее, например в точке D. А ведь нам бывает надо взобраться и выше.