Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Утверждение о том, что максимум энтропии достигается при коллапсе всей массы в черную дыру, требует небольшого пояснения. Анализ термодинамики черных дыр, проведенный Хокингом, показывает, что с любой черной дырой можно связать некоторую ненулевую температуру. Одним из следствий этого является тот факт, что в состоянии с максимальной энтропией в черной дыре не может быть заключена вся масса-энергия; максимум энтропии достигается, когда черная дыра приходит в тепловое равновесие с «тепловым резервуаром излучения». Температура этого излучения оказывается действительно ничтожной для черных дыр с любым разумным размером. Так, к примеру, для черной дыры с массой порядка массы Солнца эта температура оказалась бы равной примерно 10 -7К , что значительно ниже температур, достигнутых в настоящее время в лабораториях, и намного меньше температуры 2 , 7 К межгалактического пространства. Для черных дыр больших размеров температура Хокинга оказывается еще меньшей!

Эта температура могла бы оказаться существенной для нашего обсуждения только в том случае, если либо ( а ) во вселенной существуют намного меньшие черные дыры, которые называют черными мини-дырами; либо ( б ) вселенная не успеет полностью сколлапсировать за время, меньшее хокинговского времени испарения — времени, за которое черная дыра полностью испаряется. Относительно ( а ) надо заметить, что черные мини-дыры могут возникнуть лишь в случае особенно хаотичного Большого взрыва. В нашей вселенной их не может быть очень много, в противном случае они бы уже как-то проявили бы себя; более того, согласно излагаемой мной здесь точки зрения, их вообще не должно быть.

Что же касается ( б ), то для черной дыры с солнечной массой хокинговское время испарения имело бы величину, превосходящую нынешний возраст вселенной где-то в 10 54 ; а для черных дыр бо́льших размеров оно оказалось бы еще более продолжительным. Таким образом, вряд ли эффект испарения может существенно изменить наши предыдущие рассуждения.

Чтобы иметь некоторое представление о гигантских величинах энтропии черных дыр, рассмотрим чернотельное фоновое излучение с температурой 2 , 7 К , которое, как долго казалось, давало наибольший вклад в энтропию вселенной. Астрофизики были просто ошарашены огромным количеством энтропии, заключенным в этом излучении, которое намного превосходило все значения энтропии, с которыми приходилось сталкиваться в других ситуациях (например, на Солнце). Энтропия фонового излучения составляет примерно 10 8 на один барион (здесь я снова перехожу к «естественной системе единиц», в которых постоянная Больцмана равна единице). (По сути, это означает, что на каждый барион приходится 10 8 фотонов фонового излучения.) Таким образом, если всего имеется 10 80 барионов, то для полной энтропии фонового излучения во вселенной мы имели бы величину

10 88 .

Несомненно, что если бы не было черных дыр, то эта величина представляла бы собой практически всю энтропию вселенной, поскольку энтропия фонового излучения намного превосходит энтропию всех других обычных процессов. Так, например, энтропия, приходящаяся на один барион на Солнце, оказывается порядка единицы. С другой стороны, по меркам черных дыр, энтропия фонового излучения — это просто «писк комара». Для черной дыры в одну солнечную массу формула Бекенштейна— Хокинга дает нам значение энтропии около 10 20 на один барион (в естественных единицах). И даже если бы вселенная состояла всего-навсего из одной черной дыры с массой Солнца, полная энтропия оказалась бы уже намного превосходящей приведенное ранее значение, а именно, была бы равной

10 100 .

Конечно, вселенная не устроена таким образом, но эта цифра определенно свидетельствует о том, насколько несущественной становится энтропия фонового излучения, когда мы начинаем учитывать влияние вездесущей гравитации.

А теперь попробуем сделать более реалистичную оценку. Вместо того, чтобы заселять наши галактики одними только черными дырами, примем, что эти галактики состоят, в основном, из обычных звезд — примерно 10 11 штук в каждой и еще содержат в своей сердцевине около миллиона ( 10 6 ) черных дыр с массой солнца (что было бы вполне правдоподобно для нашей собственной Галактики — Млечного Пути). Вычисления показывают, что энтропия, приходящаяся на один барион, оказалась бы в этом случае существенно больше даже того огромного значения, которое было только что получено — она стала бы равной 10 21 , что для полной энтропии дает (в естественных единицах) величину, равную примерно

10 101 .

Мы можем предположить, что, по истечении достаточно большого промежутка времени, подавляющая часть галактических масс окажется захваченной черными дырами в центрах галактик. Когда это произойдет, энтропия в расчете на один барион станет равной 10 31 , что дает чудовищное значение для полной энтропии:

10 111 .

Мы, однако, рассматриваем замкнутую вселенную, которая, в конце концов, должна сколлапсировать; и было бы вполне разумно оценить энтропию конечного коллапса, используя формулу Бекенштейна — Хокинга и полагая при этом, что вся вселенная в момент коллапса представляет собой одну черную дыру. Такая оценка дает величину энтропии на один барион около 10 43 и совершенно немыслимую величину полной энтропии для конечного коллапса:

10 123 .

Это число мы будем рассматривать как некоторую оценку полного объема фазового пространства V , доступного для Творца, поскольку эта энтропия должна представлять собой логарифм объема (несомненно) наибольшей его части. Поскольку 10 123 есть логарифм объема, сам объем должен представлять собой экспоненту от 10 123 , т. е.

в естественных единицах! (Некоторые особо внимательные читатели могли заметить, что я должен был написать

— но для чисел такого порядка разница между основаниями е и 10 совершенно несущественна!) А каков был исходный объем фазового пространства, на который должен был нацелиться Творец, чтобы сотворить вселенную, совместимую со вторым началом термодинамики? Оказывается, что совершенно не важно, какое выбрать значение