Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Рис. 4.14.Граф с гамильтоновым циклом (изображен зачерненными линиями). Существует только один гамильтонов цикл, как читатель может сам убедиться

Есть разные способы представления графов на языке двоичных чисел. Неважно, какой из этих способов применяется в том или ином случае. Один из методов заключается в том, чтобы пронумеровать вершины 1, 2, 3, 4, 5…, а потом перечислить пары в некотором подходящем фиксированном порядке:

(1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4), (1,5), (2, 5), (3,5), (4, 5), (1,6)….

Затем мы на место каждой пары помещаем «1», если пара соединена стороной графа, и «О» — в противном случае. Тогда двоичная последовательность

10010110110…

будет означать, что вершина 1 соединяется с вершинами 2, 4 и 5; вершина 3 — с вершинами 4 и 5; вершина 4 — с вершиной 5, и т. д. (в соответствии с рис. 4.14). Гамильтонов цикл может быть задан по желанию просто как подмножество этих сторон, которое было бы описано такой же двоичной последовательностью, как и ранее, но со значительно бо́льшим числом нулей. Процедура проверки в этом случае проходит несравненно быстрее, чем процесс непосредственного построения гамильтонова цикла. Все, что нужно выяснить, — это является ли построенный цикл действительно циклом, т. е. принадлежат ли его стороны исходному графу, и что каждая вершина графа используется ровно два раза — по одному разу на концах каждой из входящих в нее двух сторон.

Такую процедуру проверки можно легко завершить за «полиномиальное» время.

На самом деле эта задача относится не только к NP , но к так называемой категории NP - полных задач. Это означает, что любая другая NP - задача может быть сведена к данной за «полиномиальное» время — так что, если бы кому-нибудь удалось отыскать алгоритм для решения задачи нахождения гамильтонова цикла за «полиномиальное» время (т. е. показать, что задача гамильтонова цикла действительно принадлежит Р ), то это будет означать, что все NP - задачи будут лежать в Р ! Это имело бы очень важные следствия. В широком смысле, задачи из Р считаются « податливыми » (иначе говоря, «решаемыми за приемлемое время») для относительно больших n , на быстром современном компьютере; тогда как задачи из NP , но не лежащие в Р , считаются « неподатливыми » (т. е. решаемыми в принципе, но «нерешаемыми практически») для тех же n — независимо от того, на какое разумно предсказуемое увеличение быстродействия компьютеров рассчитывать в будущем. (Реальное время, которое бы потребовалось для достаточно больших n при решении «неподатливой» задачи, легко превосходит возраст вселенной, что никак не предполагает практическое использование такого подхода!) Любой «умный» алгоритм для решения задачи о нахождении гамильтонова цикла за «полиномиальное» время мог бы быть превращен в алгоритм для решения всех прочих NP - задач , и тоже за «полиномиальное» время!

Другая задача, также являющаяся NP - полной [94] — «задача коммивояжера», которая во многом похожа на гамильтонов цикл, если не считать того, что разным сторонам приписаны числа и ставится цель отыскать гамильтонов цикл с минимальной суммой этих чисел (минимальной «длиной» пути, проделанного коммивояжером). Аналогично, «полиномиальное» время решения, достигнутое в «задаче коммивояжера», привело бы к возможности решать все NP - задачи за «полиномиальное» время. (Если такое решение когда-нибудь найдется, то новость об этом сразу попала бы на первые страницы! Ведь к NP - задачам относится, в частности, факторизация больших целых чисел, которая применяется в секретных шифровальных системах, представленных за последние несколько лет. Если эта задача окажется решаемой за «полиномиальное» время, то, возможно, такие шифры могли бы быть взломаны при помощи мощных современных компьютеров; если же нет — эти шифры останутся неприступными. См. Гарднер [1989].)

Эксперты, как правило, полагают, что используя устройство, работающее по принципу машины Тьюринга, невозможно за «полиномиальное» время решить NP - полную задачу; и что, следовательно, Р и NP — неэквивалентны. Это мнение, похоже, верно, хотя пока его никто не смог доказать. И это остается наиболее важной и на сегодняшний день нерешенной задачей теории сложности.

Теория сложности является важной для наших рассуждений в этой книге не только потому, что она касается вопроса возможности алгоритмизации, но и потому, что она позволяет для заведомо алгоритмизуемых объектов решать вопрос о том, могут ли использоваться соответствующие алгоритмы на практике . В последующих главах я буду больше говорить о вычислимости, чем о теории сложности, поскольку я склонен думать (хотя, конечно, и не имея для этого достаточных оснований), что, в отличие от фундаментального вопроса вычислимости, положения теории сложности не настолькр значимы для феномена мышления. Более того, мне представляется, что теория сложности сегодня лишь слегка затрагивает вопросы практичности алгоритмов.

Однако, я могу кардинально ошибаться по поводу важности той роли, которую играет сложность. Как будет показано позднее (глава 9, «Квантовые компьютеры»), теория сложности для реальных физических объектов , вероятно, может существенно отличаться от теории, изложенной мной ранее. Чтобы с уверенностью констатировать эту возможную разницу, необходимо будет использовать некоторые волшебные свойства квантовой механики — мистической, но все же поразительно точной теории, описывающей поведение атомов и молекул, а также и другие явления, многие из которых представляют интерес и на макромасштабах. Мы познакомимся с этой теорией в главе 6. Согласно ряду, идей, предложенных Давидом Дойчем [1985], существует принципиальная возможность построить «квантовый компьютер», на котором за «полиномиальное» время могут быть решены некоторые задачи (или классы задач), не принадлежащих Р . Пока совершенно неясно, как на практике сконструировать такое физическое устройство, которое бы (надежно) функционировало по принципу «квантового компьютера» — и, более того, рассматриваемый до сих пор класс задач носил заведомо искусственный характер, — но теоретически понятно, что квантовое физическое устройство могло бы улучшить работу машины Тьюринга.