Ашот Григорьян - Механика от античности до наших дней

Дореволюционная Академия наук объединяла небольшое число ученых и располагала очень скромными средствами. Сразу организовать коллективную исследовательскую работу в области механики в Академии наук не было возможности. Здесь тоже надо было потратить несколько лет для воспитания новых кадров. При Академии наук была создана аспирантура, постепенно учреждались научные комиссии, в том числе по механике; в 30-е годы приток новых сил уже позволил организовать в системе Академии наук Институт механики. До середины 30-х годов ЦАГИ оставался единственным научным учреждением большого масштаба в области механики, но постепенно в Академии наук СССР, на кафедрах механики в крупных вузах, в академиях наук союзных республик формировались научные коллективы в области механики, их количество и средняя численность неизменно росли. Благодаря национальной политике советского государства эти коллективы возникали не только в старых научных центрах, но и в новых, на периферии. Один из примеров — Тбилисская школа механиков и математиков, возглавляемая Н.И. Мусхелишвили.

Примерно к 20-летию Октябрьской революции советская механика была внушительным образом представлена во всех достаточно многочисленных областях этой науки. Советские механики работали над наиболее злободневными и фундаментальными проблемами (вне их внимания оставались, пожалуй, только вопросы аксиоматизации механики, имевшие чисто теоретический интерес). Это показывает следующая краткая характеристика основных направлений развития механики.

Более интенсивно, чем где бы то ни было за рубежом, в Советском Союзе развивались вариационные методы, велась работа по построению аналитической механики в новых переменных (групповых, неголономных). В этих исследованиях сказывалось влияние геометрических традиций, идущих от Лобачевского. Они складывались в новое своеобразное направление, возникшее первоначально в Казани, затем в Москве (школа Н.Г. Четаева).

Остановимся сначала на некоторых направлениях исследований в области неголономной механики.

На основе разработанной дифференциальной геометрии неголономных многообразий можно получить уравнения движения механической системы. Эти уравнения были выведены советским ученым В.В. Вагнером в локальных координатах. Следующим этапом было решение двух вопросов: о допустимых траекториях неголономной механической системы и о методах интеграции ее уравнений движения. Ответ на первый вопрос таков: всегда существует такая траектория в неголономном многообразии, которая соединяет любые две его точки. В порядке ответа на второй вопрос было показано, что всегда возможен такой выбор локальных координат, который принципиально упрощает интеграцию уравнений движения. Например, в случае инерциального движения система локальных координат может быть выбрана так, что все первые интегралы задачи получаются из условия постоянства компонентов скорости в этой системе.

Эти результаты не остались без применения к традиционным задачам механики. В.В. Вагнер успешно исследовал такими методами задачу С.А. Чаплыгина о плоском неголономном движении, изучал свойства фазового пространства в эйлеровом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки, рассмотрел и новые задачи неголономной механики. В.В. Добронравов подробно рассмотрел вопрос о применении неголономных координат и последовательно провел все построение аналитической механики в этих координатах. Ряд основных результатов прежней теории остался в силе, некоторые из них оказались верными только с известными ограничениями. Такие ограничения выделяют классы механических систем, имеющие определенный интерес.

К рассматриваемому направлению относятся многочисленные работы, в которых либо исследуются возможности обобщения результатов и методов голономной механики на неголономные системы, либо методы неголономной механики применяются для углубленного исследования голономных систем. Значительное внимание было уделено анализу понятия виртуального перемещения и вопросу об условиях перестановочности операций виртуального и действительного перемещений.

В значительной мере смыкаются с неголономной механикой важные исследования Н.Г. Четаева (1902—1959), связанные с применением и обобщением вариационного принципа Гаусса.

В 1932—1933 гг. в небольшой статье «О принципе Гаусса» Четаев обобщил понятие о возможных перемещениях, что позволило устранить противоречие между принципом Гаусса и принципом Даламбера—Лагранжа, возникшее в аналитической механике при переходе от исследований линейных неголономных систем к нелинейным неголономным системам.

Четаев обобщил также понятие освобождение материальных систем от связей, лежащее в основе принципа Гаусса. Четаев высказал новую точку зрения на освобождение материальных систем, понимая под освобождением системы всякое ее преобразование, подчиняющееся определенному математическому алгоритму. В дальнейших работах Н.Г. Четаева и его школы с этой точки зрения был рассмотрен широкий круг вопросов. Укажем в качестве примера работы Н.Г. Четаева и Т.Н. Пожарицкого о механических системах с неидеальными связями. Эти исследования находят применение в теории автоматического регулирования.

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестационарных связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что «весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна».

К исследованиям Четаева примыкают интересные работы советских ученых М. Ш. Аминова и А.А. Богоявленского.

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике, — применение понятия теоретически устойчивых движений к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н.Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создания аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Четаевым в работах 1931—1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях приводятся к системе уравнений с постоянными коэффициентами.