Ашот Григорьян - Механика от античности до наших дней

Эйлер и Даламбер высоко оценили работы Лагранжа. В 1759 г. по их представлению Лагранж был избран членом Берлинской академии наук. С 1776 по 1787 г. он был директором физико-математического класса Берлинской академии наук. В этот период сборники Берлинской академии обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике.

В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где он в 1788 г. издал свою знаменитую книгу «Аналитическая механика». Элегантность и внутренняя гармоничность методов «Аналитической механики» вполне оправдывает мнение У.Р. Гамильтона, называвшего эту книгу научной поэмой (a kind of scientific poem).

В развитии механики появление «Аналитической механики» Лагранжа было выдающимся событием. В 1813— 1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод в двух томах появился в 1950 г. {172} 172 См. Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I (под ред. и с прим. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье); т. II (под ред. и с прим. Г. Н. Дубошина). М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1950.

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем до первого издания «Аналитической механики» связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых. — А. Г.), с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения» {173} 173 Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, стр. 9—10. . Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики хотя pi решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

Французский математик и механик. Он заложил основы аналитической механики. Ему принадлежат выдающиеся исследования во многих областях математики

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тог момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными» {174} 174 Ж. Лагранж. А политическая механика, т. I, стр. 39—42. .

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.