Ашот Григорьян - Механика от античности до наших дней

В 1888 г. С.В. Ковалевская написала свою знаменитую работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки». Выше уже говорилось об истории этой задачи. Еще в 1758 г. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. Л. Пуансо (1777—1859) в 1834 г. дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось симметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом. Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и решения выражаются через эллиптические функции. Все вычисления были выполнены до конца И.И. Сомовым в 1851 г.

После исследований Эйлера, Лагранжа и Пуассона проблема движения тела вокруг неподвижной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду важности этой проблемы французская Академия наук назначила премии за какое-либо существенное продвижение в исследовании задачи. Два проведенных конкурса не дали результатов. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ получила премию работа С.В. Ковалевской, имевшая девиз: «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть». Конкурсная комиссия, в состав которой входили крупнейшие ученые, увеличила премию с 3000 до 5000 франков, так как, по заключению комиссии, работа Ковалевской является «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая …автор не удовольствовался прибавлением результата к тем решениям, какие перешли к нам по этому предмету от Эйлера и Лагранжа, а сделал из своего открытия углубленное исследование с применением всех возможностей современной теории функций» {215} 215 Цит. по кн.: Я. Л. Геронимус. Очерки о работах корифеев русской механики. М., Гостехиздат, 1952, стр. 202. .

В начале своей работы Ковалевская ставит вопрос: не существует ли кроме случаев, рассмотренных Эйлером и Лагранжем, еще других случаев движения твердого тела вокруг неподвижной оси, которые могли бы быть выражены при помощи каких-либо функций времени, аналогичных функциям, примененным для исследования первых двух задач? В результате своих изысканий она находит, что применение подобных функций позволит разрешить только один новый случай движения твердого тела. В этом случае центр тяжести тела лежит в плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки.

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. Этот случай справедливо получил ее имя. В своем труде С.В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы. Н.Е. Жуковский построил наглядные модели волчков для всех трех решенных в конечном виде случаев вращения твердого тела: первый из приведенных рисунков характеризует случай Эйлера — Пуансо, второй — случай Лагранжа — Пуассона, и третий — случай Ковалевской (см. рисунок).

Работы С.В. Ковалевской, посвященные движению твердого тела, стали исходным пунктом многочисленных исследований. Мы можем назвать русских ученых, так или иначе дополнивших анализ Ковалевской: московских профессоров Г.Г. Аппельрота (1866—1943), П.А. Некрасова, Б.К. Млодзеевского (1859—1923), Н.Е. Жуковского, а также А.М. Ляпунова и Н.Б. Делоне.

Одним из крупнейших достижений механики в конце XIX в. явилось создание теории устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Основоположником этой теории был А.М. Ляпунов, которому наука обязана и многими другими важными исследованиями, особенно по фигурам равновесия вращающейся жидкости. Мы остановимся преимущественно на разработке Ляпуновым проблемы устойчивости движения.

Александр Михайлович Ляпунов родился 6 июня 1857 г. в Ярославле. Первоначальное математическое образование он получил под руководством отца, М.В. Ляпунова, известного астронома, работавшего ряд лет в Казани, а с 1855 по 1863 г. бывшего директором Демидовского лицея в Ярославле. В 1870 г. семья Ляпуновых переехала в Нижний Новгород. В 1876 г. А.М. Ляпунов окончил здесь гимназию и поступил в Петербургский университет на отделение естественных наук физико-математического факультета; вскоре он перешел на математическое отделение. Особенно большое влияние оказали на Ляпунова курсы лекций П.Л. Чебышева, а также Д.К. Бобылева.

Под руководством Бобылева А.М. Ляпунов начал свои первые научные исследования. В 1880 г. Ляпунову была предложена для сочинения тема по гидростатике «О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях». За это сочинение он получил золотую медаль. По окончании университета в 1880 г. Ляпунов был оставлен при кафедре механики Петербургского университета для подготовки к профессорскому званию. Одновременно он был назначен на должность хранителя механического кабинета.

В 1882 г. Ляпунов сдал магистерские экзамены и обратился за советом к Чебышеву относительно выбора темы для магистерской диссертации. Чебышев предложил ему задачу, определившую выбор темы магистерской диссертации Ляпунова «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости», которую он защитил в 1885 г. в Петербургском университете. К задаче Чебышева и магистерской диссертации Ляпунова мы возвратимся позже.

В 1885 г. Ляпунов был приглашен приват-доцентом в Харьковский университет и приступил здесь к чтению лекций по механике.

В Харькове Ляпунов занимался проблемой устойчивости движения, математической физикой, особенно теорией потенциала, а также гидродинамикой. К работам по математической физике и механике жидкостей он привлек своего ученика В.А. Стеклова. Кратким, но важным эпизодом в научной деятельности Ляпунова явились его занятия теорией вероятностей: вслед за Чебышевым и А.А. Марковым (1856—1922) он далеко и оригинально продвинул исследование предельной теоремы Лапласа. Активно участвовал Ляпунов в работе Харьковского математического общества: в 1891—1898 гг. — в должности товарища председателя и в 1899—1902 гг. — в должности председателя и редактора научного органа.