Маркус Сотой - Тайны чисел: Математическая одиссея

Итак, каковы были мои шансы получить простой телефонный номер? В нем восемь цифр. У восьмизначного числа приблизительно один шанс из семнадцати оказаться простым. Но как меняется эта вероятность с увеличением количества цифр? Например, имеется 25 простых чисел, меньших 100, что означает, что у числа с 1 или 2 цифрами один шанс из четырех оказаться простым. В среднем при счете от 1 до 100 каждое четвертое число будет простым. Но чем дальше вы считаете, тем реже становятся простые числа.

В приведенной таблице показано изменение вероятности:

Таблица 1.02

Простые числа становятся все реже и реже, но их уменьшение происходит регулярным образом. Каждый раз, когда я добавляю разряд, число во втором столбце увеличивается на 2,3. Первым, кто заметил это, был пятнадцатилетний мальчик. Его звали Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), впоследствии он стал одним из величайших математиков.

Гаусс сделал свое открытие после того, как ему подарили на день рождения книгу с математическими таблицами. В конце ее был список простых чисел. Гаусс стал настолько одержим ими, что всю последующую жизнь он в свободное время вписывал в эту книгу новые результаты. Гаусс был математиком-экспериментатором, любившим играть с данными, и он верил, что та регулярная закономерность разрежения простых чисел будет продолжаться и дальше, как бы далеко вы ни углублялись во вселенную чисел.

Но как можно быть уверенным в том, что вы неожиданно не столкнетесь с чем-то странным, когда дойдете до рубежа чисел из 100 цифр или 1 000 000 цифр? Будет ли вероятность по-прежнему сводиться к добавлению 2,3 при появлении нового разряда, либо вероятности неожиданно начнут вести себя совершенно иначе? Гаусс предполагал, что закономерность не подвергнется изменению, но лишь в 1896 г. его убеждение получило обоснование. Два математика, Жак Адамар и Шарль де ла Валле Пуссен, независимо доказали то, что теперь называется теоремой о распределении простых чисел. Она состоит в продолжении этого разрежения простых чисел.

Открытие Гаусса привело к созданию весьма действенной модели, которая позволяет предсказать многое о поведении простых чисел. Все выглядит, словно природа кидает игральные кости для определения того, будет ли число простым. Все грани этих костей пусты, за исключением одной, где написано слово «ПРОСТОЕ»:

Рис. 1.25. Игральные кости природы

Подбросьте игральную кость, чтобы решить, станет ли число простым. Если внизу окажется подписанная грань, то оно станет простым, если пустая грань, то нет. Конечно, это всего-навсего эвристическая модель – вы не можете лишить число 100 его делителей посредством удачного броска игральной кости. Но данная модель дает числа, распределение которых, как полагают, крайне напоминает распределение простых чисел. Теорема о распределении простых чисел Гаусса говорит нам, сколько должно быть граней у игральной кости. Так, для числа с тремя цифрами нужно использовать кость с шестью гранями, или кубик с одной подписанной гранью. Для чисел с четырьмя цифрами возьмите кость с восемью гранями, октаэдр. Если же в числе пять цифр, используйте кость с 10,4 грани… Конечно, такая игральная кость сугубо теоретическая, ведь не может быть многогранника, у которого число граней 10,4.

Вопрос на миллион долларов касается природы этих игральных костей: честные они или шулерские? Будут ли они распределять простые числа во вселенной всех чисел справедливо или же будут области с предвзятыми результатами, где простых чисел слишком много либо слишком мало? Эта задача называется гипотезой Римана. Бернхард Риман был студентом Гаусса в немецком городе Гёттингене. Он разработал крайне изощренный математический аппарат, позволяющий понять, каким образом эти кости распределяют простые числа. Используя специальную функцию, называемую дзета-функцией, особые числа, называемые компле́ксными, и проведя анализ, ошеломляющий по своему объему, Риман разработал математику, контролирующую падение этих игральных костей. Он полагал, основываясь на своем анализе, что игральные кости должны быть «честными», но не мог доказать этого. Доказать гипотезу Римана – ваша задача.

Другая интерпретация гипотезы Римана состоит в уподоблении простых чисел молекулам газа в комнате. Вы не можете знать в произвольном случае, где находится каждая из молекул, но физика утверждает, что молекулы будут довольно равномерно распределены по комнате. Невозможно такое, что в одном углу будет повышенная концентрация молекул, а в другом – полный вакуум. У гипотезы Римана схожие следствия применительно к простым числам. Она не может подсказать нам, где находится каждое из простых чисел, но гарантирует, что во вселенной чисел они распределены справедливым, пусть и случайным образом. Для математиков часто хватает такого вида гарантии, чтобы пуститься в навигацию по вселенной чисел с достаточной степенью уверенности. Тем не менее, пока не получен приз в миллион долларов, мы не вполне можем осознавать, как ведут себя простые числа, по мере того как наш счет уводит все глубже и глубже в нескончаемые просторы математического космоса.

Великий ученый XVII в. Галилео Галилей однажды написал:

Вселенная не может быть прочитана, пока мы не выучили язык и не ознакомились с буквами, из которых он состоит. Она написана на математическом языке, а буквами являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без посредства которых понять одно-единственное слово не в человеческих силах. Несведущий в них блуждает в темном лабиринте [2] Пробирных дел мастер (Il Saggiatore), 1623 г. .

В этой главе представлен алфавит причудливых и замечательных форм природы: oт шестиконечной снежинки до спирали ДНК, от поворотной симметрии алмаза до сложной формы листка. Отчего пузыри безупречно сферичны? Как в живом теле появляются чрезвычайно сложные формы вроде человеческого легкого? Какая форма у нашей Вселенной? Математика лежит в основе понимания того, как и почему природа порождает подобное разнообразие форм. Она также наделяет нас возможностью создавать новые формы и способностью рассудить, в каком случае новые формы невозможны.

Не только математики интересуются формами: архитекторы, инженеры, ученые и художники – все хотят понять, как действуют формы природы. При этом они опираются на математику геометрии. Древнегреческий философ Платон поместил над входом в свою школу надпись: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». В этой главе я постараюсь выдать вам пропуск к Платону, в мир математических форм. А в конце открою вам головоломку, решение которой оценивается в другой миллион долларов.