Эдвин Эбботт - Флатландия. Сферландия

Существует другой, хотя и тесно связанный с только что изложенным способ изучения четырехмерных тел, которым мы также можем воспользоваться. Представим себе, что мы можем переходить из одного 3-пространства в другое, перпендикулярное 3-пространство. Переход этот осуществляется следующим образом. Отбросив одно из трех взаимно перпендикулярных направлений в нашем пространстве, мы присоединим к двум оставшимся четвертое направление, перпендикулярное нашему трехмерному пространству, и получим новое 3-пространство. Сечение четырехмерного тела любым из 3-пространств мы опишем по тому, что мы увидим своими глазами, оказавшись в этом 3-пространстве. Именно это мы и сделаем применительно к различным сечениям четырехмерного тела, получающимся при рассмотрении различных взаимно перпендикулярных 3-пространств во всех точках нашего трехмерного пространства.

Рассмотрим несколько примеров. Первое, с чем нам придется столкнуться при изучении четырехмерной геометрии, — это прямая, перпендикулярная 3-пространству. Так называется прямая, выходящая из произвольной точки нашего пространства в некотором новом, четвертом, направлении, перпендикулярном всем прямым исходного пространства, проходящим через данную точку [9] Точка, вышедшая из центра сферы, расположенной в нашем пространстве, и двигающаяся по прямой, перпендикулярной нашему, пространству, не приближается ни к одной части поверхности сферы, а удаляется с одинаковой скоростью от всех ее точек. Именно так можно извлечь предмет из закрытой коробки или запертого помещения, не проникая при этом сквозь стены и стенки. . Если мы станем двигаться вдоль одного из измерений нашего пространства, наблюдая при этом лишь за той его частью, которая лежит в некоторой плоскости, и новым, четвертым, измерением, то мы увидим плоскость и выходящую из нее прямую, перпендикулярную всем прямым, лежащим в данной плоскости, то есть хорошо знакомую нам картину.

В качестве другого примера рассмотрим две абсолютно перпендикулярные плоскости. Если мы выберем плоскость, проходящую через любую точку O , и прямую, перпендикулярную выбранной плоскости и проходящую через точку O , причем и прямая, и плоскость лежат в нашем исходном пространстве, а затем рассмотрим прямую, проходящую через точку в четвертом направлении, перпендикулярном всем прямым нашего пространства, проходящим через точку O , то получим плоскость, проходящую через точку O , и две прямые, каждая из которых перпендикулярна этой плоскости и другой прямой. Эти две прямые в свою очередь определяют плоскость, в которой каждая прямая, проходящая через точку O, перпендикулярна первой плоскости. Эти две плоскости называются абсолютно перпендикулярными. Рассматривая абсолютно перпендикулярные плоскости из любого 3-пространства, мы могли бы лишь увидеть одну из плоскостей и какую-то одну из прямых, лежащих в другой плоскости, а именно прямую, проходящую через точку O перпендикулярно видимой нами плоскости. Другая плоскость пересекает наше пространство вдоль этой прямой. Обе абсолютно перпендикулярные плоскости пересекаются лишь в точке O . Действительно, две плоскости, не лежащие полностью в одном 3-пространстве, не могут иметь более одной общей точки, а когда две плоскости имеют ровно одну общую точку, то самое большее, что мы могли бы увидеть из любого 3-пространства, это одну из плоскостей и одну из прямых, лежащих в другой плоскости.

Если две плоскости абсолютно перпендикулярны третьей в двух точках O и O', то они лежат в одном и том же 3-пространстве. В этом 3-пространстве мы могли бы наблюдать обе плоскости полностью и лишь одну-единственную прямую, лежащую в третьей плоскости. Эта прямая проходит через точки O и O' , и нам бы казалось, что эта прямая перпендикулярна двум первым плоскостям. С другой стороны, в 3-пространстве, содержащем третью плоскость, мы могли бы рассмотреть ее целиком, но каждая из двух абсолютно перпендикулярных ей плоскостей выродилась бы в прямую.

Но продолжим наше знакомство с четырехмерной геометрией.

Если две плоскости абсолютно перпендикулярны в точке O, то любую точку одной из них можно полностью обвести вокруг точки O и другой плоскости, оставаясь при этом все время на одном и том же расстоянии от точки O и другой плоскости. Следовательно, в пространстве четырех измерений мы можем совершить оборот вокруг плоскости так же, как в трехмерном пространстве мы совершаем оборот вокруг прямой. Двумерное существо не может обойти вокруг прямой в своей плоскости, поскольку прямая полностью разделяет плоскость. В трехмерном пространстве мы не можем обойти вокруг плоскости, ибо плоскость полностью разделяет наше пространство. Но в пространстве четырех измерений плоскости, хотя она и обладает двумя измерениями, недостает двух измерений, и поэтому мы можем обойти вокруг плоскости, оставаясь все время на заданном расстоянии от любой выбранной на ней точки. Если мы отбросим одно из двух измерений плоскости, превратив ее тем самым из плоскости в прямую, и перейдем в 3-пространство, содержащее абсолютно перпендикулярную плоскость, то мы сможем наблюдать за вращением одной плоскости вокруг другой: нам будет казаться, что исходная плоскость поворачивается вокруг некоторой прямой.

Плоскость может вращаться по самой себе вокруг одной из своих точек. Если две плоскости абсолютно перпендикулярны в точке O, то любая из них, вращаясь по самой себе вокруг точки O, остается абсолютно перпендикулярной другой плоскости. В этом случае можно сказать, что подвижная плоскость вращается вокруг фиксированной плоскости как вокруг оси, а саму фиксированную плоскость назвать осевой плоскостью. В каждой точке фиксированной плоскости можно построить абсолютно перпендикулярную плоскость. Все абсолютно перпендикулярные плоскости могут вращаться вокруг одной и той же исходной фиксированной плоскости. То же происходит и в нашем трехмерном пространстве, если мы выберем фиксированную прямую и в каждой ее точке построим перпендикулярную ей плоскость. Мы можем считать, что тела в нашем пространстве или в части пространства вращаются вокруг фиксированной оси. Аналогично можно считать, что тела в четырехмерном пространстве или в части этого пространства вращаются вокруг фиксированной плоскости как вокруг осевой плоскости. При таком вращении части тела не претерпевают деформации. Они сохраняют свою форму неизменной, и поэтому отпадает необходимость предполагать, что они упруги.

Если небольшие деформации считать допустимыми, то в качестве оси вращения можно выбрать кривую поверхность. Назовем материальной поверхностью тело, которое имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в двух других измерениях. Пользуясь трехмерной аналогией, мы можем сказать, что кусок ткани имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в третьем. Нить имеет существенные размеры лишь в одном измерении, а ее размеры в двух других измерениях очень малы. Если материальная поверхность обладает гибкостью, то ее можно перекрутить так, чтобы две противоположные стороны материальной поверхности поменялись местами. Материальная поверхность, подобно куску ткани, имеющему небольшую толщину в направлении четвертого измерения, ограничена поверхностями со всех сторон.