Александр Казанцев - Клокочущая пустота (с иллюстрациями)

— Простите, что я вступаю в ваш высоконаучный разговор, почтенные знатоки чисел, — вмешался звездочет, — но арабской науке действительно известны эти древние формулы, правда, в несколько другом написании. Однако, к сожалению, до нас не дошел их вывод. Впрочем, в том, что они дают верный результат, я имел, по воле аллаха, возможность убедиться всякий раз, когда их применял, подобно тому, как это делал сам Диофант.

Пьер Ферма нахмурился, пристально глядя на свои и написанные Декартом формулы:

— Они выводятся очень просто, почтенные господа, из тех самых выражений, которые позволили мне составить таблицу. — И Пьер Ферма показал, как удивительно простым способом можно получить эти древние формулы. [16] Примечание автора для особо интересующихся . Если положить a = m + n; b = m — n, то x = ab = (m + n) (m — n) = m 2 — n 2 ; y = 2mn; z = m 2 + n 2 , что и было записано Декартом.

(Цифры в скобках получаются после сокращения на общий множитель и равны цифрам столбца при b = 1.)

— Не могу отказать вам в математическом остроумии, но нахождение вывода старых формул не может подняться до значения самих этих формул. Так что я не вижу, к сожалению, смысла в вашей умственной расточительности ради повторения давно человечеством пройденного.

Пьер Ферма покраснел, потом побледнел, пронизывающе смотря на составленную им таблицу рядов, которую в эту минуту изучал арабский звездочет.

— Простите мне во имя аллаха, мои высокочтимые гости, что я рискую обратить ваше внимание на то, что в составленной молодым гостем таблице я вижу весьма примечательные особенности, которые, надо думать, он подметил и обосновал. Кроме того, можно увидеть, что тройки, вычисленные по древним формулам, не окажутся, как в таблице господина Пьера Ферма, простейшими числами. Произвольно задаваясь величинам m и n, мы получим после вычислений хаотические, беспорядочные, как россыпь разноцветных камней, значения всевозможных прямоугольных треугольников, отнюдь не способствующих выявлению законов их построения.

— Вы правы, уважаемый Мохаммед эль Кашти, таблица троек действительно дает возможность установить некоторые зависимости как в вертикальных рядах, так и в рядах, соседствующих по горизонтали. — И он познакомил слушателей с тем, что открыл. [17] Примечание автора для особо интересующихся. Вертикальные ряды x представляют собой арифметические прогрессии с показателем = 2b. Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по арифметической прогрессии, показатель которой для y — постоянен и равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (b + i — 1), где i — порядковый номер тройки в ряду. По просьбе арабского ученого особенно остановился Пьер Ферма на выборе коэффициента a и b в своих формулах.

Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по арифметической прогрессии, показатель которой для y — постоянен и равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (b + i — 1), где i — порядковый номер тройки в ряду.

— Вас интересует, уважаемый Мохаммед эль Кашти, случай, когда коэффициенты a и b содержат общий множитель √2? — И он показал с убедительной простотой, что в этом случае получающиеся тройки будут повторять все первые тройки соседних по горизонтали рядов. [18] Примечание автора для особо интересующихся. Если a = p√2e, b = q√2e, то p и q могут быть и четными и нечетными, x = ab = 2pqe, y = (p 2 — q 2 ) e; z = (p 2 + q 2 ) e, то есть p и q тождественны m и n древних формул (см. пред. примеч.), x и y просто меняются местами, к тому же, помноженные на e, не являются простейшими.

— Вы убедили меня, почтенный знаток и поэт чисел. Видит аллах, с каким благоговением я стараюсь вникнуть в найденные вами числа и мудро расставленные по клеткам таблицы, кажущейся мне поистине волшебной. Но я покажу почтенным господам, какие тайны хранит в себе эта простенькая таблица.

— Что же вы обнаружили в ней, уважаемый Мохаммед эль Кашти? Разве я не все понял в собственной работе?

— Конечно, не все, ибо все понятно лишь одному всемогущему аллаху! Но достаточно прикоснуться к математическому сокровищу, чтобы обнаружить в нем…

— Что же? Что? — нетерпеливо торопил арабского звездочета Пьер Ферма.

— Благословенное аллахом золотое сечение! 8 единиц рассекаются на 5 и 3, 13 — на 8 и 5! А эти цифры стоят в таблице поблизости, как и в орнаменте! [19] Примечание автора для особо интересующихся. Золотое сечение было известно древним зодчим, но сформулировано Леонардо да Винчи. Цифры 3, 5, 8, 13 совпадают с частью ряда Фибаначчи, помогающего современным ученым объяснять ряд явлений природы (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т. д.).

Декарт скептически пожал плечами и поморщился. Араб воскликнул:

— Видит аллах справедливый, что вы напрасно так холодны, господин Картезиус! В этой премудрой таблице египетских рядов, как в бездонном колодце, можно черпать сокровища знаний.

— Я не хочу отказывать древним в важных познаниях, но я не вижу причин искать закономерности построения треугольников, будучи не уверен в их практической ценности, поскольку величины сторон ограничены такой условностью, как целочисленность.

— О многочтимый господин Картезиус! Я с почтительным вниманием изучаю ваши латинские труды по философии, стараясь вникнуть в глубину ваших мыслей, но позвольте возразить вам, не оспаривая вашего права на высказанное мнение.

— Пожалуйста, прошу вас, почтенный Мохаммед эль Кашти.

— По вашему определению, господин Картезиус, человек начал существовать как человек, лишь обретя способность мыслить, а это произошло тогда, когда он стал считать по пальцам, определять, сколько плодов он сорвал, сколько дичи принес, сколько членов его семьи или племени должны его добычу разделить между собой. По-латыни, как вы знаете, «вычисление — калькуляция» происходит от слова calculus, что означает «камешек», число камешков могло быть только целым. И в нашей жизни, начиная от числа людей, быков, кораблей, домов и окон в них, кончая числом звезд в созвездиях, — все это только целые числа. Природа по воле аллаха не знает дробей.

— Но при чем тут закон Природы, созданной всевышним, и прямоугольные треугольники? — с вызовом спросил французский философ.

— Величайшая тайна творения, уважаемый мною господин Картезиус, как я верю и убежден, заключена в том, что первородный закон Природы и ее творца до необычайности прост, не менее прост, чем открытый Пифагором закон прямоугольного треугольника. И неспроста древние египтяне после разлива Нила вновь разбивали поля с помощью веревки с узлами через три, четыре и пять мер, натягивая ее на три колышка и получая очень точно необходимый им прямой угол. А как такие прямые углы нужны морякам, определяющим свое местонахождение по звездам, или нам, звездочетам, эти звезды изучающим? И кто возьмется сказать сейчас, как еще послужат людям сведенные в эту таблицу прямоугольные треугольники?