Стивен Строгац - Удовольствие от Х

5. Деление и его проблемы

14. Сцену, где молодой Кристи пытается мужественно ответить на вопрос «Сколько будет 25 процентов от четверти?» можно найти на сайте http://www.tcm.com/mediaroom/video/223343/My-Left-Foot-Movie-Clip-25-Percent-of-a-Quarter.html.

15. В блоге Джорджа Ваккаро (http://verizonmath.blogspot.com/) можно узнать подробности его встречи с представителями Verizon Wireless. Стенограмма разговора доступна на http://verizonmath.blogspot.com/2006/12/transcription-jt.html. Аудиозапись — на http://imgs.xkcd.com/verizon_billing.mp3.

16. Для читателей, которым все еще трудно принять, что 1 = 0,9999…, аргументом (убедившим в конце концов и меня) может быть такое рассуждение: они должны быть равны, потому что между ними нельзя вставить никакого другого десятичного числа. (В то же время, если два десятичных числа не равны, то между ними можно вставить их среднее, а также бесконечно много других десятичных чисел.)

17. Удивительные свойства иррациональных чисел обсуждаются на более высоком математическом уровне на странице Irrational Number по адресу http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html. Взгляд, согласно которому цифры в иррациональном числе рассматриваются как случайные, представлен на http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html.

6. Твердая позиция

18. Более подробную информацию о Корнелле, в том числе о его роли в Western Union, см. P. Dorf, The Builder: A Biography of Ezra Cornell (Macmillan, 1952); W. P. Marshall, Ezra Cornell (Kessinger Publishing, 2006); и http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html, онлайн-выставку в честь 200-летнего юбилея Корнелла.

19. Древние системы счисления и происхождение десятичной системы обсуждаются в V. J. Katz, A History of Mathematics, 2 ndedition (Addison Wesley Longman, 1998) и в C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics, 3 rdedition (Wiley, 2011). О развитии систем счета см. C. Seife, Zero (Viking, 2000), chapter 1.

Прим. ред.: Из огромной литературы по истории математики на русском языке выделим только следующие издания, которые признаны как наиболее фундаментальные в этом разделе математики: Варден, дер. В. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М. : Наука, 1959; Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. : Наука, 1967; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: КомКнига, 2007; История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. М. : Наука, 1970–1972. Том I. С древнейших времен до начала Нового времени (1970).

20. Марк Чу-Кэрролл рассматривает некоторые специфические особенности римских чисел и римской арифметики в блоге http://scienceblogs.com/goodmath/2006/08/roman_numerals_and_arithmetic.php.

21. Увлекательная выставка вавилонской математики описывается в N. Wade, An exhibition that gets to the (square) root of Sumerian math, New York Times (November 22, 2010) на сайте http://www.nytimes.com/2010/11/23/science/23babylon.html, сопровождающее слайд-шоу см. на http://www.nytimes.com/slideshow/2010/11/18/science/20101123-babylon.html.

22. Это может быть преувеличением. Одну из гипотез о том, как число 60 можно связать с анатомией рук человека, см. в G. Ifrah, The Universal History of Numbers (Wiley, 2000), chapter 9.

7. Получая радость от х

23. Для зануд: Лия действительно на 21 месяц старше Джо.

24. Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman!, стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).

Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М. : Колибри, 2008.

25. Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 – x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.

26. «Ваш возраст, деленный на два, и плюс семь», — эта формула называется стандартом приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях. Ее можно найти по ссылке http://xkcd.com/314/.

8. В поиске своих корней

27. О поиске решений более сложных уравнений, от квадратных до уравнений пятого порядка, ярко и подробно рассказывается в книге M. Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Simon and Schuster, 2005).

Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М. : Резольвента, 2010.

28. Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.

29. Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).

Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М. : МЦНМО, 2002.

30. Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4 thedition (Matrix Editions, 2009).

Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.

31. Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».

32. Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z 3– 1. Его корни — три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z , она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле

z – ( z 3– 1)/(3 z 2).

Именно это значение и становится следующим значением z . Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z 3– 1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого — к другому, а синего — к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.